Золотая пирамида — задача про треугольник, составленный из чисел


Оглавление (нажмите, чтобы открыть):

Как вот такое решать? Помогите пожалуйста

Ответ

Проверено экспертом

Пирамида:
Нужно заменить звездочки такими цифрами чтобы соблюдалось произведение
3 строка:

  • Комментарии
  • Отметить нарушение

Ответ

Эммм. Вроде бы всё просто.) Это ж пирамидки числовые.

Их принцип решения прост. Каждые две ниже стоящие клетки имеют одну выше стоящую. В этой верхней клетке должно быть число, которое получится, если мы перемножим числа в двух нижних клетках.) Например:

Берём самую нижнюю строчку (основание пирамидки). Там пропущенное число и цифра «2». Над этими числами находится клетка, в которой тоже пропущенно число.) Пока оставим это. Возьмём саму верхнюю клетку. Там стоит число «168». А под ним — «12» и «14». Перемножим 12 и 14 и получим 168.) Значит, аналогично делаем теперь с числом «12». Там под ним в одной клетке звёздочка (пропущенное число), а в другой — цифра «2».) Думаем:

Очевидно, что на 2 надо умножить 6, чтобы получить 12.) Значит ставим цифру «6». Теперь подумаем: на что надо умножить 2, чтобы получить 6? На 3.) Значит, под 6-ой будут стоять 3 (вместо звёздочки) и 2. Вот каков принцип этой пирамидки.

Решение геометрических задач методом «Золотого сечения»

Дата публикации: 25.11.2014 2014-11-25

Статья просмотрена: 3608 раз

Библиографическое описание:

Первушкина Е. А., Калинина А. И. Решение геометрических задач методом «Золотого сечения» // Молодой ученый. — 2014. — №21.1. — С. 207-210. — URL https://moluch.ru/archive/80/13876/ (дата обращения: 10.11.2020).

Данная статья посвящена обзору различных способов решения геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Рассмотрен математический термин «золотое сечение», его основные свойства.

Ключевые слова: геометрическая задача, пропорции, иррациональное число, геометрическое построение, наглядность, интерактивные геометрические среды.

Abstract. This article reviews the different ways of solving geometric problems using the method of the Golden section. Considered a mathematical term «Golden section», its basic properties.

Keywords: geometric problem, proportions, irrational number, geometric construction, visualization, interactive geometric environment.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень».

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с математическим термином «золотое сечение» сами того не подозревая. В живой природе«золотое сечение» встречается в некоторых видах морских звезд,раковинах моллюсков, рогах млекопитающих; в химиисечение встречается в белковых цепях нуклеиновых кислот; в медицине этот термин связывают с работой сердца и его мышечной системой; в архитектуре сечение представлено в различных проектах домов, в здании Кремля;в математике и геометрии «золотое сечение» образует геометрическую фигуру – икосаэдр, грани которого представлены 20 равносторонними треугольниками;также данный метод применятся для решения геометрических задач [3, с. 59]. Рассмотрим его более подробно.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:

Отрезок прямой ВС можно разделить тремя способами:

· на две равные части, тогда отношение пропорции примет следующий вид: ВС:ВD=ВС:CD;

· на две неравные части в любом отношении, такие части не образуютпропорции;

· таким образом, когда ВС:BD=BD:CD.

Последнее разделение отрезка на части называется золотым делением или деление отрезка в крайнем и среднем отношении[1, с. 349].

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; и меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему[4, с. 50].

Рассмотрим геометрическое смысл золотого сечения и выведем его приближенное значение.С математической точки зрения золотое сечение выразится через формулы квадратичной иррациональности.

Рис. 1. Геометрическое изображение «золотого сечения»

– показывает отношение большей части к меньшей.

– показывает отношение меньшей части к большей.

Итак, «золотое сечение» — это иррациональное число, приблизительно равное 1,618. Число –является золотым сечением[1, с. 345].

Впервые данный термин встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.).

Понятие «золотое сечение» или «золотое деление» в научный обиход ввел Пифагор, древнегреческий философ и математик.Рассмотрим некоторые виды задач, в решении которых используется принцип золотого сечения:

Задача№1. Возьмите отрезок длиной 10 см и разделите его приблизительно в золотом отношении.

Получим два отрезка длиной 6,2 см и 3,8 см. Одна часть больше другой в 1,6 раза.

Рис. 2. Разбиение отрезка в золотом отношении


Части золотого деления составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Задача №2. Построить золотой прямоугольник.

Рассмотрим алгоритм построения золотого прямоугольника:

1. Начертим квадрат и разделим его на два равных прямоугольника.

2. В одном из прямоугольников проведем диагональ ВС.

3. Циркулем проведем окружность радиуса ВС с центром в точке В.

4. Продолжим основание квадрата до пересечения с дугой в точке L и проведем сторону KL параллельную стороне данного прямоугольника.

Рис. 3. Алгоритм построения золотого прямоугольника

ВС-радиус окружности; В-центр окружности

Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MСKL и вычислите отношения большей стороны к меньшей .Отношение сторон .

Так как число – иррациональное, то с помощью простых измеренийсделать это невозможно. Еще в древности мастера использовали циркуль и линейку, причем они рассмотрели различные способы построения. Разберем один из способов деления отрезка в золотом сечении.

Пусть дан отрезок ВС, применим к нему метод «золотое сечение».

Опустим перпендикуляр СА к отрезку ВС. Предположим, что длина отрезка ВС = 1.

Пусть длина отрезкаСА = 2ВС. СА= .

Из точкиА проведем окружность радиусом АК, где АК=ВС.

Тогда длина отрезка .

Затем проведем окружность с центром в точкеВ радиусом ВЕ. Длина отрезка .

Рис.4. Золотое сечение отрезка ВС в точке N

Окружность с радиусом ВЕ пересечет отрезок ВС в точке N золотого сечения, так как .

Задача№3.Вырежите из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см и 16 см. Отрежьте от него квадрат наибольшей площади. Измерьте стороны получившегося прямоугольника.

Рис. 5. Построение золотого прямоугольника

Рассмотрим прямоугольник АВСД: Пусть стороны АВ=16 см, ВС=10 см. Тогда отношение сторон примет следующий вид: АВ:ВС=16:10=1,6.

Рассмотрим прямоугольник КВСМ: так как ВС=КМ=10 см, а КВ=АВ-АК=16-10=6 см. Получим следующееотношение сторон КМ:КВ=10:6=1,6666…см.

Рассмотрим прямоугольник МPNC: так как СN=ВС-ВN=10-6=4 см, а МС=ДС-ДМ=16-10=6 см, то отношение сторон МС:СN примет следующий вид МС:СN=6:4=1,5 см. Получили золотой прямоугольник

Задача№4. Построить золотое сечение отрезка ВС.

Решение:Построить золотое сечение отрезка ВС, значит найти точкуК такую, что . D

Рис. 6. Золотое сечение отрезка ВС

Рассмотрим прямоугольный треугольник DBC, у которого один катет в 2 раза больше другого. Проведем из точкиС перпендикуляр к прямой ВС и на нем отложим отрезок СD, длина которого равна половине стороны ВС.

Затем, соединим точкиВ и D. Отложим отрезкиDE и ВКтак, что длина отрезка DE равна длине отрезка DC, а отрезокBK=АN.

Точка K является искомой, она производит золотое деление отрезка BC.

Нами было рассмотрено решение геометрических задач с помощью метода «золотого сечения». Использование предложенных видов заданий позволяет развивать творческие способности, исследовательские навыки и активизировать познавательную деятельность школьников, существенным образом интенсифицировать процесс обучения математике[2, с. 52].

1. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии / Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. – М.: Стройиздат, 1990. – С. 343-350.

2. Напалков С.В., Первушкина Е.А. WEB-КВЕСТ как средство развития инновационной стратегии образования // Приволжский научный вестник. – 2014. – № 8-2 (36).– С. 51-53.

3. Первушкина Е.А. Модель развития геометрической креативности школьников при обучении математике в 5-6 классах с использованием информационных технологий // Школа будущего. – 2011. – № 6. – с. 58-64.

4. Шевелев И.Ш. Геометрическая гармония // Наука и жизнь. – 1965. – № 8.– С. 14-26.

Ключевые слова

Похожие статьи

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича.

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем


Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и.

Основные термины (генерируются автоматически): золотое.

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

Мастер Йода рекомендует:  Глубокое изучение встроенной ленивой загрузки изображений и фреймов

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].

Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа.

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

К понятию о Золотом сечении

Кроме деления отрезка на неравные части (золотое сечение) рассматривают золотой треугольник и золотой прямоугольник [3]. Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции (Рис.2).

Применение принципов золотого сечения в размерах кирпича.

В наше время за ним утвердилось название «золотое сечение». С золотым сечением связаны числа Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского), названные именем

Если последующее число разделить на предыдущее, то получим иррациональное число, приближающееся к 1,62.

«Золотое сечение» — божественная пропорция

На сенсорной доске слайд: «Золотое сечение»— божественная пропорция».

(Команды получают 5 баллов за правильное деление отрезка в «золотом сечении»).

Золотой треугольник

Ключевые слова: золотой треугольник, применение золотого треугольника.

От точки А на прямой откладываем три раза отрезок произвольной величины (d), через полученную

Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников.

Принципы золотой пропорции тела человека

«Золотое сечение», или «золотая пропорция», на протяжении

Числа золотого сечения выражаются как 0,618…, либо как 1,618…и получены из математического ряда (1

В 1986 году вышла книга Цейзинга «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и.

Основные термины (генерируются автоматически): золотое.

Наконец, размерность фрактала, как правило, является иррациональным числом (как и золотое сечение) [1]. Размерность снежинки Коха и губки Менгера выражает через золотое сечение

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Тематический тренажёр. Математика. Профильный уровень: задания части 2» [2, с. 38].


Высота имеет иррациональность в значении ( ), построить её не просто, так как в GeoGebra отрезок заданной длины не может быть иррациональным числом (программа.

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников.

1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?

При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

08. Пирамида II

Разбираем дальше Задачи №8 из открытого банка ЕГЭ для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Сегодня работаем с пирамидой. Мы уже рассматривали Задачи №8 здесь, в которых также фигурирует пирамида.

Задача 1.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле

Задача 2.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.

Задача 3.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды: .

Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат (и вершина проецируется в центр основания), а значит

Площадь же боковой поверхности есть 4 площади боковой грани (например, ).

где – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию .

Задача 4.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Пусть ребра исходного правильного тетраэдра – . Тогда объем его – .

При этом высота тетраэдра

(так как высота грани ; по свойству медиан; ).

То есть мы выразили объем тетраэдра через ребро . Теперь если ребро будет , то

И, конечно же, отношение объемов и будет

То есть если все его ребра увеличить в пять раз, то объем правильного тетраэдра увеличится в , то есть в 125 раз.

В общем-то, можно не проделывать все эти выкладки, – достаточно помнить, что объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия (в данном случае ).

Задача 5.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

Треугольники – равные прямоугольные треугольники (общий катет и ).

Заметим, треугольник – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона ( ) равна , то есть

Найдем из треугольника

Тогда площадь основания есть

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

Задача 6.

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

Для лучшей визуализации можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда в основании у нас – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами 12. Его площадь –

Высота пирамиды – также 12.

Задача 7.


От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Объем призмы есть объем пирамиды есть (основания и высоты одинаковы).

То есть объем отсеченной пирамиды есть объема призмы, а именно

Тогда объем оставшейся части равен

Задача 8.

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Пирамиды и имеют одинаковые высоты.

Площадь шестиугольника со стороной есть

Площадь же треугольника есть

Видим, что в шесть раз больше, чем .

Значит и в 6 раз больше, чем .

Задача 9.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 120. Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Площадь основания пирамиды вдвое меньше площади основания пирамиды .

Высота пирамиды вдвое меньше высоты пирамиды , так как – середина .

Стало быть, объем пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды .

Итак, объем пирамиды равен 30.

Задача 10.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Коэффициент подобия треугольников и – .

Значит площадь треугольника в 4 раза больше площади треугольника .

Высоты пирамид и совпадают.

Поэтому объем отсеченной треугольной пирамиды есть

Задача 11.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?

Площадь поверхности правильного тетраэдра – 4 площади грани (любой, – они все равны). Так как площадь правильного треугольника равна то

Теперь хорошо видно, что если мы увеличим ребро в пять раз, то площадь поверхности правильного тетраэдра увеличится в раз.

Задача 12.

Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

— средние линии равных треугольников , с общим основанием . Значит, отрезки , — параллельны и равны, следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Но и , — параллельны и равны, значит — ромб. Докажем, что — еще и квадрат. Действительно, угол между и — угол между и , которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной ( ) перпендикулярна некоторой прямой плоскости ( ), то и сама наклонная ( ) перпендикулярна этой прямой).

Итак, — квадрат со стороной . Его площадь равна .

4 детские задачки, которые решат не все взрослые

Ребята, мы вкладываем душу в AdMe.ru. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте

Иногда детишкам задают такие задачи, над которыми половина офиса может зависнуть, забыв о работе. А малыши решают их с ходу.

AdMe.ru предлагает 4 совсем детские задачки. Попробуйте решить.

Задача № 1. Парковка

Это простой вопрос из гонконгского теста для зачисления в начальную школу.

Задача № 2. Четырехзначные числа

Дошколята решают эту задачку за 5-10 минут. Программисты — за 1 час.

Задача № 3. Числовая пирамида

Задачки, как эта, сингапурские третьеклассники щелкают как орешки.


Задача № 4. Шоколадная коробка

Задачка из США для детей 12-13 лет: «В коробке 50 шоколадок. Из них 30 с карамелью, 25 — с кокосом, 10 — и с карамелью, и с кокосом, а остальные вообще без начинки.

Вопрос: Какая диаграмма верно отражает содержимое коробки?».

Несложная стереометрическая задачка с шестиугольной пирамидой

Задачу прислала ученица, которая с ней не справилась. Построение сечений пирамид у многих вызывает затруднения, особенно если пирамида шестиугольная. Поэтому очень советую посмотреть статьи на эту тему: построение сечения шестиугольной пирамиды , построение сечения четырехугольной пирамиды , сложные случаи построения сечений .

Задача. Дана правильная шестиугольная пирамида с вершиной .

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую и середину высоты пирамиды.

б) Пусть – точка пересечения этой плоскости с ребром . Найдите угол между прямой и плоскостью , если .

Построим сначала сечение. Для этого определим основание высоты пирамиды : это точка пересечения отрезков . Построим высоту и определим ее середину . Через точку проведем прямую, параллельную . Она пересечет ребра и в точках и . Построим апофемы и . Через точку пересечения апофемы с ребром и точку проведем прямую, и найдем точку пересечения этой прямой с апофемой – . Через полученную точку проведем прямую, параллельную , и найдем точки пересечения этой прямой с ребрами и – и . Соединяя точки получим многоугольник сечения.

Определим теперь угол между прямой и плоскостью . Так как является средней линией треугольника , то (стороне основания пирамиды). Кроме того, . Таким образом, – прямоугольник. Следовательно, . Тогда искомый угол – . Чтобы найти этот угол, определим длины некоторых отрезков: .

Треугольник – равносторонний со стороной , – его высота:

Длина половины высоты пирамиды:

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

Где – расстояние от точки до прямой . Определим :

Определим : треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому .

Тогда синус искомого угла равен:

То же самое можно найти и координатным методом: введем систему координат так, что ее начало расположено в точке , ось направлена вдоль (от к ), ось – вдоль прямой , ось – вверх. Тогда координаты точек .

Координаты направляющего вектора прямой . Определим уравнение плоскости :

Откуда и . Тогда координаты нормали к плоскости : , а искомый угол

p_i_f

ДЛЯ ВСЕХ И ОБО ВСЕМ

1. Четырехзначные числа

Дошколята решают эту задачку за 5-10 минут. Программисты – за 1 час. Большинство людей с высшим образованием… Впрочем, проверьте на себе. И попытайтесь по-честному, не спешите узнать готовый ответ (он будет в конце, под всеми остальными заданиями).

Мастер Йода рекомендует:  А вы уверены, что общаетесь с человеком

Маленькая подсказка: попробуйте мыслить нестандартно.

1) Вспомните, кто быстрее всех решает эту задачу? Дошкольники. А почему? Думайте, как они.
2) Думайте «зрительно». Это не математическая задача.

Еще один элементарный вопросец – на сей раз из гонконгского теста для зачисления в начальную школу. «Несмышленым» выпускникам детсада дается на решение 20 секунд!

3. Числовая пирамида

И снова привет из Сингапура. Попробуйте сравняться в уме с местными третьеклассниками, которые запросто справляются с математической задачкой ниже. (Но если застрянете, не сильно огорчайтесь: как показал телевизионный опрос, взрослые сочли ее «трудной», «слишком заумной» и даже «неразрешимой»!)

4. Шоколадная коробка

А теперь перенесемся в США. Вот вам одно из контрольных заданий обычных вашингтонских 7-классников (по местной системе это 12-13 лет).
«В коробке 50 шоколадок. Из них 30 с карамелью, 25 с кокосом, 10 – и с карамелью, и с кокосом, а остальные вообще без начинки.
Вопрос: Какая диаграмма верно отражает содержимое коробки?»

5. Родственные связи

Ну и напоследок загадка, которая даже не связана с математикой. Тем не менее она заводит в тупик многих взрослых, тогда как дети почти мгновенно выдают правильный ответ!
«Отец и сын попадают в аварию. Отец погибает на месте. Сына в критическом состоянии доставляют в больницу на операцию. Хирург в ужасе смотрит на ребенка и говорит: «Я не могу его оперировать! Это мой сын!»
Вопрос: Как же такое возможно?»

Задачи по теме «Пирамида»

Пирамида \(PA_1A_2. A_n\) :

\(\blacktriangleright\) Многоугольник \(A_1. A_n\) – основание;

треугольники \(PA_1A_2, PA_2A_3\) и т.д. – боковые грани;

точка \(P\) – вершина;

отрезки \(PA_1, PA_2, . A_1A_2\) и т.д. – ребра.

\(\blacktriangleright\) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.

\(\blacktriangleright\) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины \(P\) к основанию.

\(\blacktriangleright\) Объем пирамиды \(<\Large<3>S_<\text<осн>>h>>\) , где \(S_<\text<осн>>\) – площадь основания, \(h\) – высота.


\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Дана пирамида \(SABCD\) , вершиной которой является точка \(S\) , в основании лежит ромб, а высота \(SO\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол \(ASO\) равен углу \(SBO\) , а диагонали основания равны \(6\) и \(24\) .

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=12\) , \(BO=3\) .
Заметим, что так как \(SO\) – высота пирамиды, то \(\triangle ASO\) и \(\triangle BSO\) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть \(SO=h\) , тогда из подобия имеем: \[\dfrac=\dfrac \quad\Rightarrow\quad h=6.\] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot h\cdot \dfrac12\cdot 24\cdot 6=144.\]

В пирамиде \(SABC\) высота \(SO\) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник \(ABC\) равнобедренный, боковые стороны равны \(10\) , а основание \(AC=18\) . Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром \(SB\) и плоскостью основания равен \(45^\circ\) .

Пусть \(BK\) – высота в \(\triangle ABC\) , а значит и медиана. Тогда из прямоугольного \(\triangle BKC\) : \[BK=\sqrt=\sqrt<10^2-9^2>=\sqrt<19>.\] Тогда площадь основания равна \[S_=\dfrac12\cdot AC\cdot BK=9\sqrt<19>.\] Так как \(O\) – точка пересечения медиан, то \(O\) лежит на \(BK\) . Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\) , считая от вершины, то \[BO=\dfrac23BK=\dfrac23\sqrt<19>.\] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, \(\angle SBO=45^\circ\) и есть угол между \(SB\) и основанием (так как \(BO\) – проекция \(SB\) на плоскость \(ABC\) ). Так как к тому же \(\triangle SBO\) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, \[SO=BO=\dfrac23\sqrt<19>.\] Тогда объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot SO\cdot S_=38.\]

Высота \(SH\) треугольной пирамиды \(SABC\) падает на середину стороны \(AB\) , \(ABC\) – правильный треугольник со стороной \(6\) . Найдите объем пирамиды, если \(SC=\sqrt<30>\) .

Так как \(H\) – середина \(AB\) и треугольник правильный, то \(CH\) – высота. Следовательно, \[CH=\dfrac<\sqrt3>2AB=3\sqrt3.\] Так как \(SH\) – высота пирамиды, то \(\triangle SHC\) – прямоугольный, следовательно, \[SH=\sqrt=\sqrt<30-27>=\sqrt3.\] Следовательно, объем равен \[V=\dfrac13\cdot SH\cdot S_= \dfrac13\cdot SH\cdot \dfrac12\cdot CH\cdot AB=9.\]

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит равнобедренная трапеция \(ABCD\) , \(AD\) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок \(BC\) . Апофема грани \(ASD\) равна \(10\) и образует угол \(45^\circ\) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна \(9\) .

Пусть \(SH\) – высота пирамиды. Проведем \(HK\perp AD\) . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах \(SK\) (наклонная) также перпендикулярна \(AD\) (так как \(HK\) – ее проекция на плоскость \(ABC\) ). Следовательно, \(SK\) и есть апофема грани \(ASD\) . Также отсюда следует, что \(\angle SKH=45^\circ\) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, \(\triangle SHK\) прямоугольный и равнобедренный, значит, \[SH=HK=SK\div \sqrt2=\dfrac<10><\sqrt2>\] По определению получается, что \(HK\) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то \[S_=9\cdot \dfrac<10><\sqrt2>\] А значит объем пирамиды равен \[V=\dfrac13\cdot\dfrac<10><\sqrt2>\cdot9\cdot \dfrac<10><\sqrt2>=150.\]

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит равнобедренная трапеция с основаниями \(AD\) и \(BC\) . \(H\) – точка пересечения диагоналей трапеции, а \(SH\) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, \(\mathrm\, \angle SAC = 3\) , \(BH = 3\) , \(AH = 2\) . Найдите объем пирамиды.

\(\triangle AHD\) и \(\triangle BHC\) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция \(ABCD\) равнобедренная \(\Rightarrow\) \(AH = HD\) , \(BH = HC\) \(\Rightarrow\) \(AC = BD = 2 + 3 = 5\) \(\Rightarrow\)

\[S_ = S_ + S_ = \frac<1><2>\cdot AC\cdot BH + \frac<1><2>\cdot AC\cdot HD = \frac<1><2>\cdot AC\cdot(BH + HD) = \frac<1><2>\cdot AC\cdot BD.\]

В \(\triangle SAH\) : \(SH = AH\cdot \mathrm\, \angle SAC = 6\) , т.к. \(\triangle SAH\) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: \[V_<\text<пир.>> = \frac<1><3>\cdot S_\cdot SH = \frac<1><3>\cdot\frac<1><2>\cdot5\cdot5\cdot6 = 25\] .

В основании пирамиды \(SABC\) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом \(\angle A\) . Точка \(H\) – центр описанной вокруг треугольника \(\triangle ABC\) окружности, \(SH\) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что \(AB = 6\) , \(AC = 8\) , \(SA = 5\sqrt5\) .

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам \(\Rightarrow\) \(BH = AH = CH\) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике \(\triangle BAC\) по теореме Пифагора: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(BC = 10\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac <2>= \frac<10> <2>= 5\) . Треугольник \(\triangle AHS\) – прямоугольный, т.к. \(SH \perp ABC\) ( \(SH\) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти \(SH\) : \(SH^2 = AS^2 — AH^2 = (5\sqrt5)^2 — 5^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(SH = 10\) . Теперь найдем объем пирамиды: \[V_<\text<пир.>> = \frac<1><3>\cdot SH\cdot S_ <\triangle BAC>= \frac<1><3>\cdot SH\cdot\frac<1><2>\cdot AB\cdot AC = \frac<1><3>\cdot10\cdot\frac<1><2>\cdot6\cdot8 = 80.\]

Точки \(A\) , \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \(\pi\) . Прямая \(l\) образует с плоскостью \(\pi\) угол в \(45^\circ\) и проходит через точку \(B\) так, что \(\angle(l; AB) = \angle(l; BC)\) . Через \(l’\) обозначим проекцию \(l\) на \(\pi\) . Найдите \(\angle(l’; AB)\) , если \(\angle ABC = 80^\circ\) . Ответ дайте в градусах.

Докажем, что \(l’\) содержит биссектрису угла \(ABC\) . Выберем на \(AB\) точку \(A’\) , а на \(BC\) точку \(C’\) так, чтобы \(A’B = BC’\) . Построим прямую, проходящую через точку \(B\) и точку \(H\) – середину \(A’C’\) .

Отметим на \(l\) точку \(M\) . Треугольник \(A’BC’\) – равнобедренный, тогда \(BH\) – высота.

Рассмотрим треугольники \(A’BM\) и \(C’BM\) : они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(MA’ = MC’\) и треугольник \(A’MC’\) – равнобедренный, тогда \(MH\) – его высота.

В итоге \(A’C’\perp BH\) и \(A’C’\perp MH\) , следовательно, \(A’C’\perp (MBH)\) . Если предположить, что \(M’\) – проекция точки \(M\) на \((A’BC’)\) , не попадает на прямую, содержащую \(BH\) , то получим, что \(A’C’\perp M’M\) и \(A’C’\perp MH\) , откуда следует, что \(A’C’\perp (MM’H)\) . Но тогда плоскости \((MM’H)\) и \((MBH)\) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, \(M’\) лежит на прямой, содержащей \(BH\) , но тогда \(l’\) совпадает с прямой, содержащей \(BH\) . В итоге, \(\angle(l’; AB) = 0,5\angle ABC = 40^\circ\) .

При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация

Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.

Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.

Все боковые грани пирамиды — треугольники.

Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.

Как часто следует тренироваться?

Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.

Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!

Логические задачи, загадки на логику, головоломки. С картинками на время.

Данное задание необходимо решить в течение 6 минут. Сначала прочитайте задание, затем кликните мышкой кнопку СТАРТ! , после чего начнется отсчет времени. После того, как Вы решите задание, кликните мышкой на слове «Ответ» (ниже рисунка), чтобы свериться с ответом. При этом отсчет времени прекратится.

Мастер Йода рекомендует:  Задача с собеседований Google продолжите последовательность
Скрыть
ответ +шрифт
—шрифт +жирн
—жирн

Заполните пирамиду

Подставьте недостающие числа в пустые ячейки пирамиды с условием, что число в каждом кирпичике каждого ряда (кроме последнего) равно сумме чисел нижних двух кирпичей. Например: К = Е + Ж

08. Пирамида II

Разбираем дальше Задачи №8 из открытого банка ЕГЭ для успешной сдачи ЕГЭ по математике.

Сегодня работаем с пирамидой. Мы уже рассматривали Задачи №8 здесь, в которых также фигурирует пирамида.

Задача 1.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 6. Ее объем равен 48. Найдите высоту этой пирамиды.


Объем пирамиды вычисляется по формуле

Задача 2.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Так как объем пирамиды вычисляется по формуле то при увеличении высоты в 2 раза (только высоты) мы получим вдвое больший объем пирамиды.

Задача 3.

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды: .

Поскольку пирамида правильная, то в основании лежит квадрат (и вершина проецируется в центр основания), а значит

Площадь же боковой поверхности есть 4 площади боковой грани (например, ).

где – высота (и медиана за счет равнобедренности треугольника) к основанию .

Задача 4.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Пусть ребра исходного правильного тетраэдра – . Тогда объем его – .

При этом высота тетраэдра

(так как высота грани ; по свойству медиан; ).

То есть мы выразили объем тетраэдра через ребро . Теперь если ребро будет , то

И, конечно же, отношение объемов и будет

То есть если все его ребра увеличить в пять раз, то объем правильного тетраэдра увеличится в , то есть в 125 раз.

В общем-то, можно не проделывать все эти выкладки, – достаточно помнить, что объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия (в данном случае ).

Задача 5.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.

Треугольники – равные прямоугольные треугольники (общий катет и ).

Заметим, треугольник – равносторонний, с известной высотой. Тогда его сторона ( ) равна , то есть

Найдем из треугольника

Тогда площадь основания есть

Наконец, вычисляем объем пирамиды:

Задача 6.

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

Для лучшей визуализации можно пирамиду перевернуть так, как показано на рисунке. Тогда в основании у нас – равнобедренный, прямоугольный треугольник с катетами 12. Его площадь –

Высота пирамиды – также 12.

Задача 7.

От треугольной призмы, объем которой равен 129, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Объем призмы есть объем пирамиды есть (основания и высоты одинаковы).

То есть объем отсеченной пирамиды есть объема призмы, а именно

Тогда объем оставшейся части равен

Задача 8.

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Пирамиды и имеют одинаковые высоты.

Площадь шестиугольника со стороной есть

Площадь же треугольника есть

Видим, что в шесть раз больше, чем .


Значит и в 6 раз больше, чем .

Задача 9.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 120. Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Площадь основания пирамиды вдвое меньше площади основания пирамиды .

Высота пирамиды вдвое меньше высоты пирамиды , так как – середина .

Стало быть, объем пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды .

Итак, объем пирамиды равен 30.

Задача 10.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Коэффициент подобия треугольников и – .

Значит площадь треугольника в 4 раза больше площади треугольника .

Высоты пирамид и совпадают.

Поэтому объем отсеченной треугольной пирамиды есть

Задача 11.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 5 раз?

Площадь поверхности правильного тетраэдра – 4 площади грани (любой, – они все равны). Так как площадь правильного треугольника равна то

Теперь хорошо видно, что если мы увеличим ребро в пять раз, то площадь поверхности правильного тетраэдра увеличится в раз.

Задача 12.

Ребра тетраэдра равны 16. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

— средние линии равных треугольников , с общим основанием . Значит, отрезки , — параллельны и равны, следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Но и , — параллельны и равны, значит — ромб. Докажем, что — еще и квадрат. Действительно, угол между и — угол между и , которые перпендикулярны (ведь если проекция наклонной ( ) перпендикулярна некоторой прямой плоскости ( ), то и сама наклонная ( ) перпендикулярна этой прямой).

Итак, — квадрат со стороной . Его площадь равна .

Пирамида из квадрата

Задача

Разрежьте квадрат на пять частей, которые можно переложить так, чтобы получилась развертка правильной четырехугольной пирамиды. Можно ли обойтись меньшим числом частей?

Подсказка 1

а) Разрежьте квадрат по четырем отрезкам, соединяющим середины его соседних сторон.

Подсказка 2

б) Можно обойтись меньшим числом частей.

Решение

а) Если квадрат со стороной 2а разрезать по четырем отрезкам, соединяющим середины его смежных сторон, а затем переложить отрезанные треугольники к центральному квадрату так, чтобы они прилегали вершинами прямых углов и катетами, то получим четырехугольную звезду (рис. 1). Нетрудно показать, что она равносторонняя и что все ее стороны равны по \(a\sqrt2\), а значит, это развертка правильной четырехугольной пирамиды. Основанием пирамиды служит центральный белый квадрат, а прилегающие к нему равнобедренные треугольники — боковыми гранями.

б) Можно. Невыпуклый семиугольник, похожий на ракету (рис. 2, слева), является разверткой правильной четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат со стороной а, а все ее боковые грани — равносторонние треугольники со стороной а. Покажем, что эту развертку можно сложить из равновеликого ей квадрата, разрезав на четыре части. Площадь всей развертки равна \(a^2(1+\sqrt3)\), тогда сторона AD равновеликого ей квадрата ABCD должна быть равна \(a\sqrt<1+\sqrt3>\). Построим квадрат ABCD так, чтобы середина M стороны AD совпадала с серединой стороны квадрата, являющегося основанием пирамиды (рис. 2, справа). При таком построении пятиугольники 1 и 1′ симметричны относительно точки M, поэтому они равны. По этой же причине равны и пятиугольники 2 и 2′. Но тогда равны и треугольники 3 и 3′, значит, развертка «ракета» и квадрат ABCD равносоставлены, поэтому, разрезав квадрат ABCD на четыре части (1′, 2′, 3′ и 4), можно из них составить развертку «ракета» и сложить пирамиду.

Послесловие

Задачи на разрезание пользуются популярностью у любителей математики, а решение таких задач почти всегда похожи на маленькие открытия. Покажем это на примере рассматриваемой задачи и проследим ее историю.

Все задачи, придуманные мною, первыми решают мои ученики. И иногда им удается найти новые решения, отличные от авторского. Так было и с этой задачей. Простое и естественное ее решение нашел Иван Кушнарев, участник летней математической школы. Оно показано на рис. 3. Все отрезки на этом рисунке, отмеченные одним штрихом, имеют длину \(\frac4\), а отрезки, отмеченные двумя штрихами, — длину \(\frac2\). Квадрат разрезается на два пятиугольника и три треугольника из которых можно сложить развертку правильной четырехугольной пирамиды, изображенную справа.

Позже задача появилась в журнале «Математика в школе». Вот одно из присланных после этого решений. На рис. 4 слева показано разрезание квадрата на четыре дельтоида и малый квадрат. Здесь тоже все отрезки, отмеченные одним штрихом, равны четверти стороны разрезаемого квадрата, а отмеченные двумя штрихами — ее половине. Справа показана «вертушка», сложенная их этих четырехугольников, которая является разверткой пирамиды. Штриховыми отрезками на ней показаны ребра правильной пирамиды, основанием которой является желтый квадрат. Кстати, этот способ разрезания приводит к пирамиде из предыдущего решения.

В августе 2020 года задача победила в конкурсе группы «Математические задачи и головоломки» на Facebook. Участники этого конкурса нашли очень много решений.

Вот, например, решение Константина Кнопа. При каждой стороне исходного квадрата нужно вырезать одинаковые треугольники таким образом, что, переложив их по-другому, можно получить равносторонний восьмиугольник, являющийся разверткой правильной пирамиды (рис. 5).

Кроме этого, взяв за основу решение известной задачи квадрирования «вертушки», Константин построил динамический чертеж в GeoGebra. Это дало бесконечное семейство решений с разными пирамидами. Все пирамиды правильные, потому что их боковые грани — равные равнобедренные треугольники, но с разными углами при вершине, величина которых изменяется от 45° до 90°. На рис. 6 показано решение, в котором из квадрата получается правильная пирамида с углом при вершине 60°. Посмотреть динамический чертеж можно здесь.

Решение пункта б) придумал А. Домашенко. Найдено оно с помощью двух паркетов. Первый паркет замощен симметричными развертками правильной пирамиды, похожую на ракету, второй замощен квадратами, равновеликими этой развертке пирамиды (рис. 7).

При наложении этих паркетов получается мозаика (рис. 8), в которой можно разглядеть решение пункта б), приведенное выше.

Более 20 лет проводятся ежегодные матчи между командами России и Украины по решению головоломок. Организаторы этих матчей в 2020 году включили обсуждаемую здесь задачу в число конкурсных, и она принесла победные баллы в копилку команды России, участник которой В. Илюхин нашел разрезание квадрата всего лишь на три части (рис. 9).

По отрезку, соединяющему середины смежных сторон квадрата, отрезается треугольник, затем вырезается равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны и меньшее основание равны. Таким образом исходный квадрат разрезан на три части: треугольник, трапеция и невыпуклый семиугольник. Из этих фигур складывается одиннадцатиугольник, который является разверткой правильной четырехугольной пирамиды. На рис. 9 справа штриховыми отрезками показаны линии сгибов, которые являются ребрами пирамиды. Также было показано, что даже при разрезании на три части есть бесконечное семейство решений.

Подводя итоги, можно сказать, что квадрат можно разрезать любое, большее двух, число частей, из которых можно сложить развертку правильной четырехугольной пирамиды. Также есть «разрезание» и на одну часть: можно загнуть углы квадрата к центру и получить правильную четырехугольную «пирамиду» нулевой высоты. Если это считать решением, то остается только случай n = 2. Существует ли подходящее разрезание на две части?

Можно заметить, что каждая новая публикация этой задачи приносила новые решения и продвижения. Хочется, чтобы это случилось и на «Элементах».

Добавить комментарий