Программная реализация 10 математических задач


Оглавление (нажмите, чтобы открыть):

Задачи математического программирования (стр. 1 из 6)

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

кафедра информационных систем и управления им. В.К. Буторина

Задачи м атематическо го программировани я

1. Понятие математического программирования

2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования

3. Понятие нелинейного программирования

4. Динамическое программирование

Лабораторная работа №1 (Задача линейного программирования)

Лабораторная работа № 2(Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel)

Лабораторная работа № 3 (Решение транспортной задачи)

Лабораторная работа №4 (решение задач нелинейного программирования)

Лабораторная работа №5 (задача динамического программирования об оптимальном распределении инвестиций)

Лабораторная работа №5 (задача динамического программирования о выборе оптимального пути в транспортной сети)

Переход от административных к экономическим методам управления производством, развитие рыночных отношений, распространение договорных цен – все это нацеливает экономические службы на поиск наилучших хозяйственных решений, обеспечивающих максимум результатов или минимум затрат. Необходимость поиска таких решений обуславливается, прежде всего, существованием ограничений на факторы производства, в пределах которых предприятия (отдельные производители) постоянно функционируют. Если бы эти ограничения отсутствовали, то нечего было бы выбирать, не было бы и вариантов решений.

Известно, что определенный вид продукции можно произвести, используя различные технологические способы; в некоторых производствах возможна взаимозаменяемость материалов; один и тот же тип оборудования может быть использован для производства различных видов продукции и т.п.

Как лучше организовать производство, по каким ценам выгодно производить продукцию, как лучше всего использовать производственные ресурсы, которые высвобождаются и т.п.?

На все эти вопросы позволяет получить ответ математическое программирование, являющееся действенным инструментом принятия решений.

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения.

В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f(x1, х2. xn) при условиях gi(x1, х2. xn) ≤ bi, где f и gi — заданные функции, a bi — некоторые действительные числа.

В зависимости от свойств функций f и gi математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Прежде всего задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. При этом если все функции f и gi линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если же хотя бы одна из указанных функций нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования. Наиболее изученным разделом математического программирования является линейное программирование. Для решения задач линейного программирования разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ. Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется минимум выпуклой (или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнений либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

В задачах целочисленного программирования неизвестные могут принимать только целочисленные значения.

Задача, процесс нахождения решения которой является многоэтапным, относится к задаче динамического программирования.

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

задачи линейного программирования,

задачи нелинейного программирования;

задачи динамического программирования.

Если целевая функция и функции ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программы) для ЭВМ» не имеет, т.к. дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и др. задач.

Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» — составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование, нелинейное программирование, математическое программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.

Итак, линейное программирование возникло после второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Существует несколько методов решения задач ЛП. В данной работе будут рассмотрены некоторые из них, в частности:

Графический метод решения задачи ЛП;

Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel;

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.

Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП).

В данной работе будет рассматриваться такой метод решения задач НП, как метод множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум (или минимум) функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

Программы для решения математических задач

Нужна программа, которая решит пример по алгебре или построит график функции? Программа для решения квадратных уравнений или поиска кратчайшего пути в графе? Вы попали в нужное место! В данном разделе вы найдете ссылки на программы для решения задач по математике по различным темам.

Если вам нужны сайты и сервисы, которые решают задачи «на лету» прямо в браузере, переходите на страницу: Как решать задачи онлайн.

Программы для решения алгебры и геометрии

Конечно же, я порекомендую очень функциональную и бесплатную программу GeoGebra, которая работает как онлайн в браузере, так и на компьютере или мобильных устройствах.

Основные возможности Геогебры:

  • Построение геометрических и стереометрических чертежей и их анимация
  • Построение графиков функций в двумерном и трехмерном виде
  • Построение сечений, ГМТ, кривых и т.п.
  • Действия с матрицами
  • Действия с комплексными числами
  • Аппроксимация по точкам
  • Создание Java-апплетов

Могилев А.В., Пак Н.И., Хённер Е.К. Информатика — файл n1.doc

приобрести
Могилев А.В., Пак Н.И., Хённер Е.К. Информатика
скачать (9067.5 kb.)
Доступные файлы (1):

n1.doc 9068kb. 08.07.2012 00:23 скачать
    Смотрите также:
  • Могилев А.В., Пак Н.И., Хённер Е.К. Практикум по информатике (Документ)
  • Семакин И.Г., Хеннер Е.К. (ред.) Информатика. Задачник-практикум. Часть 2 (Документ)
  • Ву, Пак Чжэ (Woo, Park Jae). Су Джок для всех (Документ)
  • Техника и технология пищевых производств. Часть 1 (Документ)
  • Техника и технология пищевых производств. Часть 2 (Документ)
  • Казиев В.М. Математика и информатика. Часть 3. Задачи и лабораторные работы (Документ)
  • Симонович С.В. Информатика. Базовый курс (Документ)
  • Лапчик М.П. Численные методы (Документ)
  • Белугин Н.И. Информатика. Решаем домашние задания. 11 класс (Документ)
  • Рассолова М.М. (ред.) Правовая информатика: Учеб. пособие (Документ)
  • Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ 9 класс (Документ)
  • Угринович Н.Д. Информатика и ИКТ 8 класс (Документ)

n1.doc

§ 10. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

10.1. НАЗНАЧЕНИЕ ПРОГРАММ

Описанные выше программные системы — текстовые редакторы и издательские системы, электронные таблицы и СУБД — являются инструментальными средствами общего назначения, т.е. могут использоваться для решения наиболее общих задач информационного характера в любой из сфер человеческой деятельности. Вместе с тем в отдельных сферах деятельности часто возникают задачи менее общего характера, такие, например, как проведение математических расчетов типа решения систем уравнений, интегрирования, статистической обработки информации и т.п., которые также требуют использования инструментальных программных средств. Таких более специальных инструментальных программ в настоящее время существует огромное количество. Одно их перечисление заняло бы многие страницы и все равно осталось бы неполным, так как новые «полуприкладные» системы появляются очень часто. Укажем лишь некоторые классы таких инструментальных средств: универсальные математические пакеты, пакеты статистической обработки данных, электронные «органаизеры» — программные средства, облегчающие планирование деятельности, хранение и поиск записей, отслеживающие заданные промежутки времени и т.д.

Ниже коротко описаны две широко используемых как в обучении, так и в практической деятельности системы, предназначенные для решения математических задач — пакет MATHCAD и система аналитических вычислений REDUCE.

10.2. ПАКЕТ MATHCAD

Одним из последних достижений в области инструментальных средств для решения прикладных задач является MATHCAD — физико-математический пакет с включенной в последнюю версию системой искусственного интеллекта SmartMath (разработка NASA), которая позволяет выполнять математические вычисления не только в числовой, но н в аналитической (символьной) форме.

1 — палитра операторов; 4-рабочая область;

2 — панель инструментов; 5 — панель форматирования;

3 — главное меню; 6 — строка статуса.

Рис 2.28. Пример экрана MATHCAD
Важное значение разработчики MATHCAD придавали удобству работы с ним и простоте освоения. Интерфейс MATHCAD прост и понятен, полностью отвечает стандартам среды Windows. Все графики и математические объекты могут быть введены щелчком «мыши» с перемещаемых палитр. Обучение пользователя происходит в процессе работы «на ходу» при помощи многочисленных сообщений системы.

Графическая среда MATHCAD позволяет записывать математические формулы в привычном виде, гибко и выразительно представлять данные графически.

Документ MATHCAD состоит из областей различного типа. Текстовые области создаются нажатием кнопки с буквой А на панели инструментов. Математические области возникают, если щелкнуть в свободном месте (появляется красный крестик -визир, фиксирующий место ввода формулы). Области на экране легко можно перетаскивать «мышью» или перемещать командами Cut и Insert меню Edit.

Большинство математических формул записывается в рабочем документе MATHCAD так же, как на листе бумаги. Знаки арифметических операций вводятся с помощью клавиш+,-,*,/.

Для ввода скобок, определяющих порядок выполнения арифметических операций используется клавиша (пробел). В большинстве случаев система тут же выдает ответ после ввода символа «=» с клавиатуры или с 1-й палитры операторов. В среде MATHCAD знак «=» означает числовой, а знак «стрелка вправо» символьный вывод значения переменной, функции, выражения.

Если последовательно вводить

При вводе более сложных операций используют кнопки палитр операторов MATHCAD, находящиеся на экране слева. Для перехода от одной палитры к другой надо щелкнуть на цифре над палитрой.

Стандартные математические функции, такие как cos, sin, arctan, log, exp можно вводить посимвольно, или вставлять из прокручивающегося списка. Чтобы вызвать прокручивающийся список встроенных функций MATHCAD, следует выбрать пункт Insert Function из меню Math.

Для редактирования выражения надо щелкнуть «мышью» правее элемента выражения, подлежащего изменению, а затем нажать клавишу и ввести нужный элемент. Для немедленного пересчета значения выражения следует щелкнуть «мышью» в стороне от выражения. Все вычисления могут производиться с высокой точностью — число значащих цифр задается из меню системы и практически не ограниченно.

Символ определения «:=» (который можно ввести с 1-й палитры операторов или нажав клавишу «:» ) позволяет определять переменные и функции:

Важно следить за тем, чтобы все переменные и функции были определены левее и/или выше тех выражений, где они используются.

Вычислить (протабулировать) функции и выражения для параметров, пробегающих заданный диапазон значений, можно с помощью кнопки «m..n» 1-й палитры. Например, для табуляции функции f(x), приведенной выше, просто вводят z = f(z) = и т.д.

z = 0,.5, 2
z F(z) ехр(f(z)) • z
0 0.167 0
0.5 0.14 0.575
1 0.083 1.087
1.5 0.01 1.516
2 -0.059 1.885

Для создания этих таблиц просто вводят z = , f(z) = и т.д. Имеется ввиду, что функция определена в предыдущем примере (выше).

MATHCAD имеет широкие возможности визуализации числовых данных — 7 видов двумерных и трехмерных графиков. На каждом из двумерных графиков может одновременно находиться до 16 различных кривых, имеющих по 6 атрибутов. Можно создавать собственные библиотеки графических элементов, размещать в рабочем документе MATHCAD произвольные графические изображения.

Для построения графика надо определить с помощью кнопки «m..n» диапазон независимой переменной, а затем создать область графика с помощью кнопки внизу 1-й палитры. После этого вводятся выражения, откладываемые по осям Х и Y (в средние поля ввода на соответствующих осях). Для каждой оси может быть введено несколько выражений.

Интегралы и суммы легко вычислять с помощью кнопок 1-й палитры. Для этого достаточно щелкнуть соответствующую кнопку и заполнить появившиеся позиции ввода.

Для выполнения вычислений с матрицами необходимо нажать кнопку с изображением матрицы на 2-й палитре, указать в диалоговом окне число столбцов и строк, нажать кнопку Create и заполнить пустые поля. Теперь, чтобы обратить матрицу А, надо напечатать «A^-1=», а для вычисления определителя — «A».

Численное решение уравнения начинается с задания пробного значения корня и требует использования оператора root(.„, . ). Его первый операнд — левая часть уравнения в виде F(x)=, а второй — переменная, по которой ищется корень.

гооt(t 2 cosh(t),t)=1,621.
MATHCAD корректно оперирует с единицами измерения выводимых числовых результатов и автоматически меняет числовое значение результата при изменении синицы измерения.

Чтобы пересчитать ответ в других единицах, надо щелкнуть на ответе, затем на втором (дополнительном) поле ввода правее и ввести нужные единицы.

Документ MATHCAD, на котором совмещены текст, графика и формулы, выглядит как страница учебника или научной статьи, при этом формулы являются «живыми» — стоит внести изменения в любую из них, как MATHCAD пересчитает результаты, перерисует графики и т.д. Можно анимировать график, записав его эволюцию при изменяющемся значении параметра, а затем воспроизвести мультипликацию со звуковым сопровождением.

Документы MATHCAD могут быть особым образом «сшиты» в электронные книги. При этом они, сохраняя все свои свойства, оказываются организованными в структуру, обладающую гипертекстовыми ссылками, навигацией, контекстным поиском, открывающимися окнами и т.д.

Доступ к таким электронным книгам может осуществляться по локальным и глобальным сетям — MATHCAD имеет средства для выхода в Интернет и загрузки документов с помощью Интернет-протокола.

При поиске числового результата наряду с общеупотребительными математическими операциями и функциями может быть использовано большое количество встроенных функций, таких как функции отыскания собственных векторов матрицы, решения дифференциального уравнения, генерации последовательности случайных чисел с заданным законом распределения.

В среде MATHCAD имеются функции трех видов: встроенные, пользовательские и вложенные. Это виртуальные функции, производные, интегралы, корни, связанные с соответствующими вычислительными методами и алгоритмами. В меню Symbolic пакета Mathcad PLUS 5.0. включены следующие операции символьной математики:

• вычисление выражения в аналитическом виде;

• вычисление выражения в комплексном виде;

• вычисление числового значения выражения;

• разложение на множители;

• вычисление коэффициентов полинома;

• поиск производной по переменной;.

• интегрирование по переменной;

• решение уравнения в аналитическом виде;

• подстановка в выражение;

• разложение в ряд;

• представление в виде смешанной дроби;

• инвертирование (обращение) матрицы;

• нахождение детерминанта (определителя) матрицы;

• обратное преобразование Фурье;

• обратное преобразование Лапласа;

• пределы (команд нет.есть кнопки-иконки).

В системе имеются разнообразные способы ввода числовых данных: с клавиатуры, из других приложений, например, электронных таблиц, с использованием технологии OLE или DDE или буфера обмена, непосредственно их файлов, с использованием разнообразных функций файлового доступа.

Интеллектуальная система SmartMath включается в работу двумя способами: одноименной командой из меню Math или нажатием и «притоплением» на панели инструментов кнопки-иконки с изображением кафедралки — головного убора средневековых ученых.

SmartMath позволяет работать не только в ручном, но и в автоматическом режиме. Режим автоматических символьных преобразований включается опцией . Live Variable в меню Math.

Искомое выражение появляется правее, ниже или вместо исходного, заданного пользователем. Место для результата задается установкой Derivation Format. и Derive in Place в меню Symbolic. Если в исходном выражении пользователь что-то поменяет, то ему придется все действия повторить, не забыв при этом стереть предыдущий вариант ответа. В автоматическом режиме за исходным выражением нажатием соответствующей кнопки-иконки ставится знак «стрелка вправо». А чтобы система SmartMath поняла, в каком направлении необходимо вести преобразования, введены 7 ключевых слов: factor, expand, series, simplify, complex, float и assume. Эти слова можно считать зачатками нового языка программирования, ориентированного не на вычислительный, а на аналитический процесс.

Второй режим системы SmartMath связан с оптимизацией численных расчетов.

Ключевое слово optimize, поставленное перед суммой (произведением, интегралом, пределом), заставляет систему SmartMath отойти от лобовой атаки. Если оптимальное решение найдено, то правее выражения появляется красная шестиугольная звезда.

Пользователь может просмотреть не только численный результат, но и аналитическое выражение, упростившее расчеты. Оно заносится в специальный буфер, отображенный на диске командой Show SmartMath..меню Math или щелчком по красной звездочке. Оптимизационное выражение можно записать в переменную, которая будет уже иметь, не числовой, а символьный тип. Оптимизировать расчеты можно и без слова optimize, включив опцию Optimize в меню Math. В этом случае оптимизироваться будут все выражения без особого на то приглашения.

Оптимизация не только ускоряет расчеты, но и повышает их точность. И не только количественно, но и качественно за счет исправления методологических ошибок (промахов) численных методов.

10.3. СИСТЕМА АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ REDUCE

Развитие вычислительной техники начиналось с автоматизации выполнения арифметических действий. Вместе с тем известно, что компьютеры могут успешно оперировать математическими символами. Область вычислительной математики, связанная с аналитическими преобразованиями и получившая название компьютерной алгебры, в настоящее время развивается и получает широкое распространение в различных направлениях науки и образования. Основным объектом, над которым производит действие компьютер, является аналитическое (символьное) выражение, организованное и преобразуемое по заданным логическим правилам. Сегодня возможно компьютерное интегрирование и дифференцирование символьных выражений, перестановки и перегруппировки членов, приведение подобных членов, подстановки в выражения с последующим их преобразованием.

Очевидно, что известные системы программирования (Паскаль, СИ, Бейсик и т.п.) мало пригодны для анализа и преобразования символьной информации. Для этих целей созданы и развиваются специальные системы аналитических преобразований, которые можно разделить на универсальные, специализированные и общего назначения. Наибольшей популярностью пользуется универсальная система символьных вычислений REDUCE, автором которой является профессор А.Хиен. Система Reduce написана на языке высокого уровня ЛИСП.

Язык Reduce, составляющий ядро системы, трансляторы для которого разработаны для всех распространенных типов ЭВМ, предназначен прежде всего для проведения вычислении в аналитическом виде. Язык «знает» все операции алгебры с многочленами, приведением подобных членов, раскрытием скобок; все базовые элементарные функции, в том числе и в комплексной форме, ряд других функции; широкий набор операции над матрицами, включающий как входящие в обычные вузовские программы, так и выходящие за их пределы (например, функции от матриц); очень хорошо дифференцирует и несколько хуже вычисляет первообразные (но все же значительно лучше, чем большинство студентов, изучивших стандартный курс интегрального исчисления); умеет делать и ряд других действий.

Насколько это существенно для решения некоторых задач, показывает следующий пример. В одной из диссертаций по физике магнитных явлений диссертант (дело было в середине 50-х годов) потратил несколько лет на решение в принципе несложной задачи, требовавшей, однако, проведения совершенно фантастического (для человека) количества операторных коммутаций и последующего приведения подобных членов. Каждое отдельное неразрывное преобразование требовало, по-видимому, нескольких месяцев неустанной работы при максимальной аккуратности и напряжении. Поручить же эту работу ЭВМ было невозможно, так как в те времена языков аналитических преобразований в практически пригодном виде не существовало. О независимой проверке работы не приходилось и думать — это потребовало бы от другого человека не менее года работы. Примерно через 15 лет все эти выкладки были проделаны на ЭВМ в системе Reduce за несколько дней; оказалось, что автор диссертации почти все выкладки сделал безошибочно.

Мастер Йода рекомендует:  Новые правила монетизации каналов от Яндекс.Дзен

Разумеется, язык «умеет» производить и численные операции, причем его арифметика имеет произвольную точность, не привязанную к способу представления чисел с плавающей запятой в регистрах процессора и ячейках ОЗУ. Получить при вычислении 20 или 50 значащих цифр в результате для Reduce вполне возможно.

В системе Reduce программа записывается и выполняется по предложениям, каждое из которых представляет собой последовательность символов. Предложение завершается одним из символов: ; (точка с запятой), п (кружок с черточками). Если предложение оканчивается знаком «;», то результат его выполнения выводится на экран дисплея или печатающее устройство. В случае знака ◘ вывод не происходит.

В системе Reduce каждая переменная имеет имя и значение. Если переменной не присвоено какое-либо значение, то имя переменной является ее значением. В этом заключается одно из принципиальных отличий подобных систем от традиционных языков программирования. Первоначально имя и значение переменной совпадают между собой, и такая переменная называется свободной.

Запуск программы на выполнение в системе осуществляется клавишей .

Ниже приведем несколько примеров программ в системе Reduce, которые позволят получить первоначальные представления о системах аналитических преобразований символьной информации.
Пример 1.
А; XI; SS# ABCDIF;
Листинг результата программы следующий:

ABCDIF
Комментарий: все переменные являются свободными, т.е. их значения совпадают с именами.
Пример 2.
А:=123456789# В:= 123456789123456789#А*В;
Листинг результата программы следующий:
15241578765432099750190521
Комментарий: переменным А и В присваиваются целочисленные значения и вычисляется их произведение, причем результат вычисления точный без округления.
Пример 3.
A:=S# A; A:=X*Y# A; Q:=X:=Y# Q; X;
Листинг результата программы следующий:
S

Y
Комментарий: переменной А присваивается сначала значение S, затем — X*Y.
Пример 4.
13; 3+6; 2**64; 11-20; 25/(-125); 2*(3*A-6)/6;
Листинг результата программы следующий:
139 18446744073709551616 (-9) (-1)/5А-2
Комментарий: при проведении алгебраических преобразований для записи сложных выражений используют имена переменных и знаки арифметических операций.
Пример5.
I**2; A:=X+I*Y# B:=X-I*Y# A*B; A**2;
Листинг результата программы следующий:
-1

‘ 2*I*X*Y + X-52-0-Y-52
Комментарий: для использования комплексных чисел за латинской буквой I закреплено значение мнимой единицы.
Пример 6.
OPERATOR F,W; W(X); F(5*X); (F(X)+A)**2;
Листинг результата программы следующий:
W(X) F(5*X) F(X)-52-0 + 2*A*-F(x) + A-52
Комментарий: имена в скобках используют для обозначения операторов или функций, которые описываются предварительно командой OPERATOR.
Пример 7.
DF(X**2,X); DF(Y,Y,2); DF(X**3*Y*82*Z**3,X,3,Y,Z,2); DF(Y,X);
Листинг результата программы следующий: 2*Х 0 72*Y*Z О

Комментарий: встроенный оператор DF используется для вычисления частных производных по отношению к одной или нескольким переменным, первым аргументом в скобках является дифференцируемое выражение, далее — аргументы, по которым проводится дифференцирование, и числа, указывающие порядок производной.
Пример 8.
INT(X**2,X); INT(SIN(X),X);

Листинг результата программы следующий:

Х-53-0/3 — COS(X)
Комментарий: оператор INT используется для вычисления интегралов, на первом месте стоит интегрируемое алгебраическое выражение, на втором месте указывается переменная интегрирования.

Мы привели наиболее простые возможности системы Reduce. Подробнее ознакомиться с работой подобных систем читателю рекомендуется по специальным учебным пособиям и монографиям.
Контрольные вопросы
1. В чем основные отличия переменных в традиционных системах программирования от систем аналитических преобразований типа REDUCE?

2. В каких задачах предпочтительнее использовать методы компьютерной алгебры?

Урок 10
§2.1 Решение задач на компьютере

Ключевые слова:

• постановка задачи
• формализация
• алгоритмизация
• программирование
• отладка и тестирование
• выполнение расчётов

Чтобы решать задачи на компьютере, необходимо владеть языком программирования, обладать знаниями в области информационного моделирования и алгоритмизации.

2.1.1. Этапы решения задачи на компьютере


Решение задачи с использованием компьютера включает этапы, представленные на рис. 2.1.

На первом этапе обычно осуществляется постановка задачи, происходит осознание её условия. При этом должно быть чётко определено, что дано (какие исходные данные известны, какие данные допустимы) и что требуется найти в решаемой задаче. Также должны быть чётко выделены существенные свойства рассматриваемого объекта, указаны связи между исходными данными и результатами.

Рис. 2.1. Этапы решения задачи на компьютере

На втором этапе описательная информационная модель формализуется, т. е. записывается с помощью некоторого формального языка.

Для этого требуется:

• понять, к какому классу принадлежит рассматриваемая задача;
• записать известные связи между исходными данными и результатами с помощью математических соотношений;
• выбрать наиболее подходящий способ для решения задачи.

На третьем этапе осуществляется построение алгоритма — чёткой инструкции, задающей необходимую последовательность действий для решения задачи. Алгоритм чаще всего представляется в форме блок-схемы ввиду её наглядности и универсальности.

На четвёртом этапе алгоритм записывается на одном из языков программирования. Вы учитесь записывать программы на языке Паскаль.

На пятом этапе осуществляется отладка и тестирование программы.

Отладка программы — это процесс проверки работоспособности программы и исправления обнаруженных при этом ошибок.

Ошибки могут быть связаны с нарушением правил записи программы на конкретном языке программирования. Их программисту помогает найти используемая система программирования; она выдаёт на экран сообщения о выявленных ошибках.

Проверка правильности разработанной программы осуществляется с помощью тестов. Тест — это конкретный вариант значений исходных данных, для которого известен ожидаемый результат.

О правильности разработанной программы свидетельствует также соответствие полученных данных экспериментальным фактам, теоретическим положениям и т. д. При этом может возникнуть необходимость уточнить разработанную математическую модель, полнее учесть особенности изучаемого объекта. По уточнённой математической модели снова составляется программа, анализируются результаты её выполнения. Так продолжается до тех пор, пока полученные результаты не будут достаточно точно соответствовать изучаемому объекту.

На шестом этапе по уточнённой программе проводятся необходимые вычисления, результаты которых позволяют ответить на поставленные в задаче вопросы.

Рассмотренные этапы являются основой разработки современного программного обеспечения, но при этом называются они несколько иначе (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Этапы разработки программного обеспечения

На этапе подготовки разработчик уточняет у заказчика требования к программному продукту, осуществляет предварительное планирование этапов работ, сроков, ресурсов и стоимости разработки.

На этапе проектирования составляются требования к программе, определяются её технические характеристики, выбираются алгоритмы реализации программы.

На этапе создания происходит разработка интерфейса программы (кнопки, иконки, расположение и т. д.); создаётся программный код — пишется программа, реализующая ранее выбранный алгоритм; осуществляются отладка и тестирование программы. На этом же этапе создаётся пакет документации, включающий различные описания, инструкции и руководства. Наличие подробной документации обеспечивает в том числе возможность передачи накопленных знаний другим разработчикам.

На этапе поддержки происходит установка разработанного программного обеспечения (внедрение), исправление выявленных ошибок и поддержка пользователей (сопровождение).

2.1.2. Задача о пути торможения автомобиля

Рассмотрим последовательность этапов решения задачи на компьютере (см. рис. 2.1) на примере простой задачи.

Водитель автомобиля, движущегося с некоторой постоянной скоростью, увидев красный свет светофора, нажал на тормоз. После этого скорость автомобиля стала уменьшаться каждую секунду на 5 метров. Требуется найти расстояние, которое автомобиль пройдёт до полной остановки.

Первый этап. Дано:

υ0x — начальная скорость;

υх — конечная скорость (равна нулю, так как автомобиль остановился);

ах — ускорение (равно -5 м/с 2 ).

Требуется найти: sx — расстояние, которое автомобиль пройдёт до полной остановки.

Второй этап. В данной ситуации мы имеем дело с прямолинейным равноускоренным движением тела. Формула для перемещения при этом имеет вид:

Упростим эту формулу с учётом того, что конечная скорость равна нулю: . При аx = -5 м/с 2 получим: (при условии задания скорости в метрах в секунду и вычислении пути в метрах).

Третий этап. Представим алгоритм решения задачи в виде блок-схемы:

Четвёртый этап. Запишем данный алгоритм на языке программирования Паскаль:

Пятый этап. Протестировать составленную программу можно, используя информацию, что при скорости 72 км/ч с начала торможения до полной остановки автомобиль проходит 40 метров.

Шестой этап. Выполнив программу несколько раз при различных исходных данных, можно сделать вывод: чем больше начальная скорость автомобиля, тем большее расстояние он пройдёт с начала торможения до полной остановки.

Применяя компьютер для решения задач, всегда следует помнить, что наряду с огромным быстродействием и абсолютной исполнительностью у компьютера отсутствуют интуиция и чувство здравого смысла и он способен решать только ту задачу, программу решения которой ему подготовил человек.

САМОЕ ГЛАВНОЕ

Этапы решения задачи с использованием компьютера:

1) постановка задачи;

5) отладка, тестирование;

6) выполнение расчётов.

Для решения многих задач на компьютере необходимо владеть языком программирования, обладать знаниями в области информационного моделирования и алгоритмизации.

Вопросы и задания

1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?

2. Перечислите основные этапы решения задачи с использованием компьютера.

3. Что происходит на этапе постановки задачи? Что является результатом этого этапа?

4. Что происходит на этапе формализации? Что является результатом этого этапа?

5. Что происходит на этапе алгоритмизации? Что является результатом этого этапа?

6. Что происходит на этапе программирования? Что является результатом этого этапа?

7. Что происходит на этапе компьютерного эксперимента? Что является результатом этого этапа?

8. Какой этап решения задачи на компьютере, по вашему мнению, является наиболее трудоёмким?

9. Как вы считаете, по силам ли одному специалисту реализация всех этапов решения сложной практической задачи? Обоснуйте свою точку зрения. Проведите аналогию между этапами решения задачи на компьютере и этапами разработки программного обеспечения. Обсудите эти вопросы в группе.

10. Как правило, сложные практические задачи решаются большими коллективами разработчиков. Отдельные группы в этих коллективах специализируются на выполнении одного или нескольких этапов решения задачи. Нужно ли в таком случае им иметь представление обо всех этапах решения задачи с использованием компьютера? Обоснуйте свою точку зрения.

11. Может ли пригодиться в жизни представление об этапах решения задачи с использованием компьютера? Обоснуйте свою точку зрения.

12. В аэробусе, вмещающем 160 пассажиров, три четверти мест находятся в салонах экономического класса и одна четверть мест — в салоне бизнес-класса. Стоимость билета в салоне бизнес-класса составляет х рублей, что в два раза выше стоимости билета в салонах экономического класса. Разработайте программу, которая вычислит сумму денег, полученную авиакомпанией от продажи билетов на этот рейс, если известно, что остались нераспроданными а билетов бизнес-класса и b билетов экономического класса. Выделите все этапы решения этой задачи и опишите свои действия на каждом из них.

13. Уличный продавец газет получает а рублей с продажи каждой из первых 50 газет. С продажи каждой из последующих газет он получает на 20% больше.

Разработайте программу, которая вычислит заработок продавца, если он продаст за день 200 газет. Зафиксируйте свои действия на каждом из этапов решения этой задачи.

Инструментальные программные средства для решения прикладных математических задач.

Классификация программного обеспечения ЭВМ. Прикладное программное обеспечение.

Системное программное обеспечение (СПО) – стандартная и унифицированная совокупность общих управляющих и обрабатывающих программ, которые применяются при создании новых и выполнении уже существующих программ пользователей. СПО разделяется на 5 групп систем:

— операционные системы (ОС);

— системы управления файлами;

— интерфейсные оболочки для взаимодействия пользователей и ОС и программной средой;

ОС компьютера – это сложный комплекс управляющих и обрабатывающих программ, который связывает аппаратуру компьютера с пользователем и предназначен для эффективного распределения ресурсов информационной системы между решаемыми задачами и для оптимальной организации надежных вычислений.

Системы управления файлами (СУФ) предназначены для обеспечения удобного доступа к данным, организованным как файлы.

Интерфейсные оболочки используются для удобства взаимодействия с ОС и предназначены для расширения или изменения встроенных в ОС возможностей по организации управления ОС. Ряд ОС могут организовывать выполнение программ, созданных для других ОС.

Системы программирования предназначены для создания прикладного программного обеспечения в рамках имеющейся ОС. В состав системы программирования входят: трансляторы с соответствующего языка, библиотеки подпрограмм, редакторы, компоновщики и отладчики. Любая система программирования может работать только в соответствующей ОС, под которую она создана. Однако при этом может позволять разрабатывать программное обеспечение и под другие ОС.

Утилиты – это специальные программы, с помощью которых можно обслуживать как саму ОС, так и подготавливать для работы носители данных, выполнять перекодирование, осуществлять оптимизацию размещения данных на носителе и производить некоторые другие работы, связанные с обслуживанием вычислительной системы.

Прикладное программное обеспечение разрабатывается для решения конкретных целевых задач из той или иной проблемной области. Различают 2 основных вида прикладного ПО: общего и специального назначения.

К ПО общего назначения относятся:

— системы иллюстративной и деловой графики (графические редакторы);

— системы управления базами данных;

— программы математических расчетов, моделирования и анализа экспериментальных данных.

Также офисное программное обеспечение, которое обеспечивает решение почти всех прикладных задач.

Прикладным называется ПО, предназначенное для решения определенной целевой задачи из проблемной области. Часто такие программы называются приложениями.

К типовому прикладному ПО относятся следующие программы:

· текстовые процессоры (редакторы);

· системы иллюстративной и деловой графики (графические процессоры);

· системы управления базами данных;

· программы математических расчетов, моделирования и анализа экспериментальных данных.

Интегрированными системами обычно являются экспертные системы, программы математических расчетов, моделирования и анализа экспериментальных данных, а также офисные системы. Примером мощной и широко распространенной интегрированной системы является офисная система Microsoft Office.

Рассмотрим наиболее часто встречающееся прикладное ПО.

Редакторы документов (WinWord, Лексикон) – это наиболее широко используемый вид прикладных программ. Они позволяют подготавливать документы гораздо быстрее. Редакторы документов позволяют использовать различные шрифты символов, абзацы произвольной формы, автоматически переносят слова на новую строку, позволяют делать сноски, включать рисунки, автоматически нумеруют страницы и сноски и т.д. Наиболее мощные редакторы документов позволяют проверять правописание, набирать тексты в несколько столбцов, создавать таблицы и диаграммы, строить оглавления, предметные указатели и т.д.

Табличные процессоры (Ехсе1, Lotus 1-2-3). При работе с табличным процессором на экран выводится прямоугольная таблица, в клетках которой могут находиться числа, пояснительные тексты и формулы для расчета значения в клетке по имеющимся данным. Все распространенные табличные процессоры позволяют перевычислять значения элементов таблиц по заданным формулам, строить по данным в таблицах различные графики и т.д.

С помощью графических редакторов (Paint, Adobe Photoshop, Согеl) создаются и редактируются рисунки. В простейших редакторах предоставляются возможности рисования линий, кривых, раскраски областей экрана, создание надписей различными шрифтами и т.д.

Правовые базы данных (Гарант, Консультант плюс) содержат тексты нормативных документов и предоставляют возможности поиска, распечатки и т.д.

Системы автоматизированного проектирования (САПР) позволяют осуществлять черчение и конструирование различных предметов и механизмов с помощью компьютера. Среди систем малого и среднего класса в мире наиболее популярна система AutoCAD фирмы AutoDesk.

Для работы со звуком и видео существуют различные программы, такие как звуковые процессоры и редакторы, проигрыватели, утилиты и управляющие программы. Некоторые программы являются встроенными в операционные системы. Например, программа Звукозапись входит в состав Windows, играет роль цифрового магнитофона и позволяет записывать звук и сохранять его в звуковых файлах. Программа Универсальный проигрыватель воспроизводит звук и видео.

Одним из последних достижений в области инструментальных средств для решения прикладных задач является MATHCAD – физико-математический пакет, который позволяет выполнять математические вычисления не только в числовой, но и в аналитической (символьной) форме.

Интерфейс MATHCAD прост и понятен, полностью отвечает стандартам среды Windows. Все графики и математические объекты могут быть введены щелчком «мыши» с перемещаемых палитр. Обучение пользователя происходит в процессе работы «на ходу» при помощи многочисленных сообщений системы.

Графическая среда MATHCAD позволяет записывать математические формулы в привычном виде, гибко и выразительно представлять данные графически.

Документ MATHCAD состоит из областей различного типа. Текстовые области создаются нажатием кнопки с буквой А на панели инструментов. Математические области возникают, если щелкнуть в свободном месте (появляется красный крестик – визир, фиксирующий место ввода формулы). Области на экране легко можно перетаскивать «мышью».

Большинство математических формул записывается в рабочем документе MATHCAD так же, как на листе бумаги. Знаки арифметических операций вводятся с помощью клавиш +, -, *, /.

При вводе более сложных операций используют кнопки палитр операторов MATHCAD, находящиеся на экране слева. Для перехода от одной палитры к другой надо щелкнуть на цифре над палитрой.

Документ MATHCAD, на котором совмещены текст, графика и формулы, выглядит как страница учебника или научной статьи, при этом формулы являются «живыми» — стоит внести изменение в любую из них, как MATHCAD пересчитает результаты, перерисует графики и т. д.

Система MATLAB – это матричная лаборатория, которая была создана фирмой MathWorks.

MATLAB – язык программирования высокого уровня для технических вычислений. Его достоинством является возможность расширения для технических задач. Существует 14 расширений.

Derive – в переводе означает извлекать или наследовать. Видимо оба этих значения учитывали разработчики системы. Derive тщательно опробованная, надежная и быстрая система. Фактически это единственная малая система обеспечивающая решение задач компьютерной алгебры в диалоговом режиме.

Derive способна решать систему следующих задач:

1. Арифметические и логические операции: вычисление алгебраических, тригонометрических, гиперболических, статистических и финансово-экономических функций.

2. Действия над числами произвольной разрядности и при различной системе счисления.

3. Операция с действительными и комплексными числами, представление их в дробно-рациональной форме.

4. Символьные операции с полиномами, дробно-рациональными функциями, функциями одной и многих переменных.

5. Символьное и численное интегрировании и дифференцирование, вычисление сумм и произведений элементов рядов, вычисление пределов функций.

6. Символьные и числовые операции с векторами, матрицами.

7. Построение двухмерных и трехмерных графиков, графиков функций заданных в параметрической форме и графиков в полярной системе координат.

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 1720 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Математическое и программное обеспечение

Математическое обеспечение — совокупность математических методов, моделей и алгоритмов для реализации целей и задач АИС.

К средствам математического обеспечения относятся средства моделирования процессов управления; методы математического программирования, математической статистики, теории массового обслуживания и др.

Программное обеспечение(ПО) – это совокупность комплекса различных по функциям и взаимосвязанных программ, участвующих в решении задач в составе АИС, и программных документов, необходимых для эксплуатации этих программ.

ПО развивается исходя из требований других видов обеспечения АИС. При обработке данных ПО является связующим звеном между комплексом технических средств и другими подсистемами АИС. Таким образом, ПО призвано оживить технические средства, то есть заставить их выполнять операции по обработке информации.

В состав программного обеспечения входят:

· общесистемноеПО – это совокупность программ и программных комплексов для обеспечения работы компьютера и сетей ЭВМ.

· прикладное (специализированное) ПО — предназначено для решения функциональных задач в составе АИС и работы пользователей.

· техническая (программная) документация — необходима для пользователей ПО. Она описывает основные возможности программных средств, режимы работы, порядок их использования, а также требования к информационному и техническому обеспечению, контрольные примеры.

К общесистемному ПО относятся комплексы программ, обеспечивающие работу компьютера и компьютерных сетей, а также служат для контроля и управления процессом обработки данных.

В свою очередь, общесистемное ПО состоит из 3-х частей:

· базовое ПО (операционные системы, программы-оболочки или файловые менеджеры);

· средства программирования (языки программирования, системы программирования, системы автоматизированного проектирования);

· сервисное ПО — это программы, которые направлены на расширение возможностей ОС и поддержание АИС в рабочем состоянии. Они называются утилитами и обеспечивают обслуживание ЭВМ, служат для выполнения вспомогательных операций по обработке. К ним относятся программы диагностики работоспособности компьютера, антивирусные программы, программы архивирования файлов, программы резервного копирования, программы защиты от несанкционированного доступа, программы криптографического шифрования, программы обслуживания сети.

Прикладное (специализированное) ПО носит проблемно-ориентированный характер и представляет собой совокупность программ, разработанных при создании конкретной АИС. В его состав входят пакеты прикладных программ (ППП), реализующие разработанные модели, отражающие функционирование реального объекта автоматизации.

В свою очередь прикладное ПО состоит из двух частей:

· пользовательское прикладное ПО — это текстовые процессоры (MS Word и пр.), табличные процессоры (MS Excel и др.), СУБД (MS Access и др.), интегрированные пакеты программ (MS Office);

· конкретное (проблемное) ППО – это бухгалтерские программы «1С:Бухгалтерия», «Парус», «Инфософт» и др; программы в области страхования; программные продукты сферы бюджетирования «Нефрит» и «Красный директор»; программы планирования Project Expert и Альт-Прогноз; ППП правовых баз данных «Гарант», «Кодекс», «Консультант-Плюс» и др.; программы «операционный день банка»; программы автоматизации банковской деятельности «Инверсия», «Диасофт», «Асофт», «Програмбанк» и др.; программы финансового анализа; комплексные программы автоматизации предприятия «БОСС-Компания», «Галактика», «NS 2000».

В отличие от пользовательского ПО, где алгоритм функционирования АИС задается разработчиком, в конкретном ПО алгоритм уже задан.

Техническая (программная) документация поставляется фирмой-разработчиком программных продуктов и разрабатывается для различных категорий пользователей.

Глава 6. Основы проектирования автоматизированных
информационных систем

6.1. Понятие проектов и проектирования, цель и задачи
проектирования

Создание и внедрение АИС предполагает частичный или полный пересмотр деятельности управленческого аппарата предприятия, фирмы, организации. Поэтому созданию АИС всегда предшествуют подготовительные работы, завершающиеся разработкой соответствующей технической документации. Техническая документация представляет собой экономико-организационную модель системы обработки информации. Чем качественнее разработана техническая документация, тем быстрее и эффективнее будет разработана и реализована на ЭВМ АИС. Процесс разработки технической документации называется проектированием. Документ, получаемый в результате проектирования, называется проектом.

Процесс проектирования заключается в подготовке проектных документов и внедрении человеко-машинной системы управления организацией (объектом автоматизации). Основу такой системы составляет автоматизированная технология получения необходимой информации для принятия обоснованных решений специалистами в режиме реального времени.

Мастер Йода рекомендует:  Формы в Symfony

Цель проектирования АИС заключается в определении и формировании обеспечивающих и функциональных подсистем АИС.

Методическую основу проектирования составляют системный подход и математическое моделирование изучаемых процессов. Системный подход позволяет исследовать свойства отдельных подсистем и рассматривать их как систему в целом. Математическое моделирование применяется при изучении информационных потоков и определении связей между объектами системы. В процессе проектирования выявляются наиболее существенные характеристики экономического объекта, изучаются его внешние и внутренние информационные потоки, создаются математические и физические аналоги исследуемой системы и ее элементов, устанавливаются условия взаимодействия человека и технических средств.

Объектами проектирования являются:

· обеспечивающие подсистемы, реализующие процедуры сбора, передачи, накопления и хранения информации, ее обработки и формирования результатов расчетов в нужном для пользователя виде;

· функциональные подсистемы, реализующие конкретные функции объектов автоматизации, например, управление инвестициями, оперативное управление производством, управление маркетингом, финансовой и внешнеэкономической деятельностью, бухгалтерский учет и формирование отчетности, делопроизводство и др.

Основными нормативными документами, регламентирующими процесс создания любого проекта ИС, являются ГОСТы на создание и документальное оформление автоматизированных систем.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Статья «Компьютерные программы для решения задач по математике»

Компьютерные программы для решения задач по математике


На сегодняшний день существует очень много компьютерных программ для решения задач по математике. К таким программам относятся Fraction , Sistema , Wincalc , Algebrator , Winmat , Wingeom , GeoGebra , Mathcad и другие. Мы рассмотрим самые распространенные, расскажем про их возможности и применение на уроках.

Программа Fraction проста в использовании, она выполняет действия с обычными дробями. Данная программа случайным образом генерирует примеры на все действия с обыкновенными дробями. Весь материал разбит на уроки по каждому действию. [1]

Программа Sistema также является несложной. Она необходима для перевода чисел из одной системы счисления в другую систему счисления. [1]

Программа Wincalc представляет собой калькулятор целых чисел. Wincalc позволяет пользователю производить вычисления над целыми числами, содержащими миллионы цифр, переводить число из одной системы счисления в другую, разлагать числа на простые множители, сравнивать числа по модулю и многое другое. [ 1]

Программа Algebrator – это обучающая система по алгебре, предназначенная для решения алгебраических задач школьного курса математики. Возможности программы Algebrator следующие: упрощение алгебраических выражений (деление многочленов в столбик, выражения со степенями, дроби, корни, модули), разложение на множители и раскрытие скобок, нахождение НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель), решение линейных, квадратных и многих других уравнений и неравенств (включая базовые логарифмические и степенные уравнения), построение линий (прямые, параболы, гиперболы, окружности, эллипсы, решение уравнений и неравенств), упрощение логарифмов, базовая геометрия и тригонометрия (подобие, вычисление тригонометрических функций, прямоугольный треугольник и т.д.), арифметика и другие разделы алгебры (отношения, пропорции, система мер и т.д.), линейная алгебра (сложение, вычитание и умножение матриц, обратные матрицы, определитель матрицы). [1]

Программа Winmat позволяет рассчитывать и редактировать матрицы, и решать стандартные задачи линейной алгебры. Программа работает в поле действительных, комплексных, и целых чисел. [1]

Программа Wingeom является геометрической программой и предназначена для создания точных, аккуратных, перемещающихся чертежей (2D-моделирование), трехмерных моделей (3D-моделирование), моделей неевклидовой геометрии (сферической и гиперболической), мозаик-паркетов. Программа Wingeom обладает возможностями: создавать, трансформировать, редактировать точные, аккуратные построенные модели плоских и пространственных фигур, производить необходимые измерения (длина отрезка, величина угла в градусах, площадь многоугольника, периметр многоугольника, отношение длин отрезков, координаты точки, длина дуги окружности, длина окружности, площадь круга, площадь сечения многогранника, радианная мера угла, объем шара, объем конуса, вычисление значений выражения, составленного с помощью арифметических действий и стандартных функций). [1]

Программа GeoGebra – динамическое программное обеспечение для математики, которое соединяет в себе геометрию, алгебру и исчисление. Оно разработано для изучения математики и обучения в школах. Вы можете сделать построения с помощью точек, векторов, отрезков, прямых, так же как с функциями, и впоследствии изменить их динамически. Также уравнения и координаты могут быть введены непосредственно. [1]

Система Math cad представляет собой мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система Math cad настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами. [2] Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Приложение позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие. В Mathcad усовершенствованы средства построения двухмерных и трёхмерных графиков. Данная программа дает возможность работать в Декартовской системе координат, строить полярные, векторные графики, карты поверхности, контурные карты, гистограммы и диаграммы рассеивания.

Исключительно велика роль системы Math cad в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики, делая его интересным и достаточно простым. Грамотное применение системы в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования. Система Math cad позволяет готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение. [2]

Опыт применения подобных программ на математических уроках показал повышение эффективности преподавания и успешности усвоения учениками фундаментальных математических понятий и скорейшего закрепления их навыков в решении практических математических задач. Применение этих компьютерных программ позволяет сделать уроки математики более эффективным, а процесс обучения – интересным и наглядным. Главная особенность этих программ – помощь в решении сложных задач. [3]

Занятия, проводимые в компьютерном классе должны быть разнообразны и решать различные методические цели — получения новых знаний, повторения, закрепления, самопроверки и т.д. Содержание занятий должно полностью соответствовать содержанию занятий, проводимых в кабинете математики. Большинство программ позволяют ученику проверить свои аналитические изыскания, выполненные на уроках, на самостоятельных или контрольных работах. При этом проверяется не только численный результат; работа программ сопровождается наглядной графикой и, главное, разветвленным «математическим» диалогом с учеником. И в этом основное достоинство эффективности применения этих программ. Ведь ведение диалога с программой требует от ученика не только навыков работы на компьютере, знания элементов языка, но и определенного уровня математических умений. Не изучив в определенной мере математическую суть вопроса, вести содержательный диалог с программой безрезультатно, и этот фактор стимулирует познавательную активность учеников: неудобно чувствовать себя перед компьютером дискомфортно. Очень популярны на обобщающих компьютерных занятиях многозадачные программы, которые охватывают обширный материал по целым темам и разделам. [3]

Таким образом, можно сделать следующий вывод: без базовых знаний, вложенных учителем, ученик не сможет работать с данными программами, т.к. он не будет понимать суть решения задачи, а значит, не сможет составить алгоритм решения и прийти к ответу; и кроме того, школьник не сможет построить правильный график и проанализировать его.

Использование таких программ помогает сэкономить время на решение большее количество задач, получить точный ответ и проанализировать график на таких уроках как алгебра, геометрия, математический анализ и т.д. Например, при исследовании графика функции с помощью подобных программ, можно получить точный ответ, просчитав программно все точки экстремума, преломления и пересечения.

Полученный начальный опыт работы с подобными программами в школе очень пригодится для дальнейшего изучения математических наук в ВУЗах, магистратурах, аспирантурах и т.д.

Список используемой литературы

1. Сайт «Компьютерные программы по математике»: https://www.pcmath.ru

2. Сайт «Компьютерный инженерный анализ»: https://cae.tsogu.ru

3. Капустин Е.И. О компьютерном сопровождении преподавания математики/ Е.И. Капустин // Невинномысский химический колледж. – 2008. – N 2. – С. 5-8.

4. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам/ В.П. Дьяконов // Математика. – 1987. – N 14. – С. 14-16.

5. Дьяконов В.П. Math c ad 2001. Учебный курс/ В.П. Дьяконов // Математика. – 2001. – N 7. – С. 9-13.

6. Боревский Л. Курс математики 2000 для школьников и абитуриентов./ Л. Боревский // Математика. – 2001. N 10. – С. 19-20.

7. Третьяк Т. Информационные технологии на уроках математики/ Т. Третьяк // Математика. – 1998. N 2 4. – С. 16-19.

8. Кругликов С. Компьютерная программа «Курс математики 2000» и новые возможности в учебном процессе/ С. Кругликов // Математика. – 2001. – N 33. – С. 16-18.

9. Кривоногов В. Компьютер и тригонометрические уравнения/ В. Кривоногов // Математика. – 2002. – N 1. – С. 24-26.

10. Гришина О. и др. Электронный «Курс математики»/ О. Гришина // Математика. – 2002. – N 43. – С. 22-26.

Обзор современных компьютерных систем для решения экономико-математических задач

Обзор современных компьютерных систем для решения экономико-математических задач

На рынке современных математических систем в настоящее время присутствует целый ряд крупных фирм: Macsyma, Inc., Waterloo Maple Software, Inc., Wolfram Research, Inc., MathWorks, Inc., MathSoft, Inc., SciFace GmbH и др.

MATLAB — продукт компании MathWorks, Inc.(https://www.mathwork.com/), представляющий собой язык высокого уровня для научно-технических вычислений. Среди основных областей применения MATLAB — математические расчеты, разработка алгоритмов, моделирование, анализ данных и визуализация, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя. MATLAB решает множество компьютерных задач — от сбора и анализа данных до разработки готовых приложений. Среда MATLAB соединяет в себе математические вычисления, визуализацию и мощный технический язык. Встроенные универсальные интерфейсы позволяют легко работать с внешними информационными источниками, а также осуществлять интеграцию с процедурами, написанными на языках высокого уровня (C, C++, Java и др.).

MathCAD — Это интегрированная среда для выполнения, документирования и обмена результатами технических вычислений от компании MathSoft, Inc. (https://www.mathsoft.com/). Данный продукт позволяет пользователям вводить, редактировать и решать уравнения, визуализировать результаты, документировать их, а также обмениваться результатами анализа, отслеживая при этом их размерность.

Maple — продукт компании Waterloo Maple Software, Inc. (https://www.maplesoft.com/) часто называют системой символьных вычислений или системой компьютерной алгебры. Maple позволяет выполнять как численные, так и аналитические расчеты с возможностью редактирования текста и формул на рабочем листе.

Mathematica

Система Mathematica — компании Wolfram Research, Inc. (https://www.wolfram.com/) имеет чрезвычайно широкий набор средств, переводящих сложные математические алгоритмы в программы. По сути дела, все алгоритмы, содержащиеся в курсе высшей математики технического вуза, заложены в память компьютерной системы Mathematica.

Mathematica имеет мощный графический пакет, с помощью которого можно строить графики очень сложных функций одной и двух переменных.

Macsyma

Macsyma от компании Macsyma, Inc. (https://www.macsyma.com/) — это одна из первых математических программ, оперирующих символьной математикой. Сильные стороны Macsyma — развитой аппарат линейной алгебры и дифференциальных уравнений. Система ориентирована на прикладные расчеты и не предназначена для теоретических исследований в области математики. В связи с этим в программе отсутствуют или сокращены разделы, связанные с теоретическими методами (теория чисел, теория групп, и др.).

MuPAD

MuPAD является программным пакетом компьютерной алгебры, предназначенным для решения математических задач различного уровня сложности. Основные качественные отличия MuPAD — невысокие требования к ресурсам PC, наличие собственного ядра символьной математики, способность к развитию самим пользователем и мощные средства визуализации решения математических задач.

S-PLUS

S-PLUS представляет собой интерактивную компьютерную среду, обеспечивающую полнофункциональный графический анализ данных и включающую оригинальный объектно-ориентированный язык. Гибкая система S-PLUS может использоваться для исследовательского анализа данных, статистического анализа и математических вычислений, а также для удобного графического представления анализируемых данных.

2 – Программирование в MathCAD: операторы, примеры использования

Рассмотрим все команды из панели программирования Mathcad.

1. Add Line – добавить строку в текущую позицию программы. При вводе данной команды появляется или расширяется на одну строку вертикальная линия, объединяющая отдельные операторы в блок с одним входом и одним выходом, который выполняется как один оператор. Для того чтобы начать ввод подпрограммы, необходимо набрать имя программы и в скобках через запятую перечислить формальные параметры подпрограммы, ввести нужное количество раз команду Add Line. Программа выводит последнюю переменную, обрабатываемую программой перед выходом. Вместо имени подпрограммы можно указать имя переменной, куда необходимо вывести результат работы подпрограммы.

2. Оператор присваивания. В Mathcad имеются два оператора присваивания: для глобальных переменных (обозначается двумя символами «:=») и для локальных переменных «←». Глобальные переменные доступны в любом месте программы после объявления данной переменной, а локальные – только в текущем блоке.

Напишем программу для решения квадратного уравнения ax2+bx+c=0. В программе при помощи операторов глобального присваивания задаются значения глобальных переменных a, b и c. Для сравнения введем еще локальную переменную k и присвоим ей значение 4. Далее вычисляем значение корней квадратного уравнения при помощи программы, состоящей из одного блока операторов. В программе применяются три оператора локального присваивания и возвращается значения вектора x, состоящего из двух чисел. После выполнения программы выводим значение всех переменных, используемых в программе. При этом значение всех локальных переменных D, x и k, заданных вне блока, программа не видит, поэтому вместо знака = выводится оператор глобального присваивания «:=». В этом случае значение переменной не выводится, а вместо него отображается красный прямоугольный маркер.

3. Оператор if предназначен для организации разветвляющихся вычислительных процессов.

Общий вид простого оператора if: D if L, L – логическое выражение; D – оператор, выполняемый в случае, если условие L принимает значение «истина».

Оператор работает следующим образом:

• вычисляется логическое условие L;

• если L – истина, то выполняется оператор D, в ином случае он не выполняется;

• выполнение программы продолжается со следующего, после if, оператора.

Для формирования сложных условий можно использовать панель инструментов Boolean, содержатся знаки логического равенства, неравенства и логических операций. В частности, «V» означает логическое «или», а «Λ» — логическое «и».

Таким образом, чтобы сформулировать условие, что переменная х находится в диапазоне (–3;4), необходимо написать: x > –3 Λ x B приводятся к виду −Dx 6 −B

Запустив программу, получим сообщение

Дополнительно можно задать начальное приближение x0:

Если какой-то из входных параметров отсутствует, на его место следует поставить квадратные скобки [], за исключением случая, когда это последний параметр в списке. Например, если нужно решить задачу без ограничений-равенств, в которой не задано начальное приближение, то оператор вызова функции linprog будет выглядеть так: [x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb,ub).

(Квадратные скобки в конце списка, соответствующие начальному приближению, не ставятся.) С помощью входного параметра options устанавливаются некоторые дополнительные настройки, в частности, выбирается алгоритм решения. MATLAB решает задачи линейного программирования двумя способами: алгоритмом внутренней точки (Large-Scale Algorithm) и вариантом симплекс-метода (Medium-Scale Algorithm). По умолчанию используется алгоритм внутренней точки. Чтобы выбрать симплекс-метод, нужно написать options = optimset(’LargeScale’,’off’,’Simplex’,’on’);

MATLAB позволяет выводить информацию о том, как завершилось решение задачи. За это отвечает параметр exitflag. Если значение exitflag равно 1, то найдено решение задачи, если равно 0, то превышено допустимое число итераций, если равно −2 — множество планов задачи пусто, если равно −3 — целевая функция не ограничена снизу на множестве планов. Интерпретация других значений параметра exitflag приведена в MATLAB Help. Для симплекс-метода допустимое число итераций (MaxIter) по умолчанию в 10 раз больше количества переменных. Значение MaxIter можно изменить. Чтобы установить допустимое число итераций равным, к примеру, 10, нужно написать

Если после выполнения десятой итерации решение не будет найдено, параметр exitflag станет нулевым и на экране появится сообщение

Maximum number of iterations exceeded;

Параметр output содержит информацию о процессе оптимизации, в частности, число итераций (iterations) и используемый алгоритм (algorithm).

Другие поля параметра output описаны в MATLAB Help. Запустим с данными из примера 1 следующую программу:

На выходе получим:

medium scale: simplex

Это означает, что симплекс-метод успешно завершил работу, для нахождения решения потребовалось одна итерация. Наконец, в выходном параметре lambda содержится решение двойственной задачи линейного программирования. Параметр lambda состоит из четырёх массивов: lambda.ineqlin, lambda.eqlin, lambda.upper, lambda.lower. В этих массивах находятся двойственные переменные, приписанные ограничениям-неравенствам, ограничениям-равенствам, ограничениям на план сверху и снизу соответственно.

Пример: Решим в MATLAB задачу линейного программирования:

Соответствующая программа будет выглядеть так:

В результате работы программы получим:

Теоретическая часть.

Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на не- сколько отраслей, производящих определённые товары и услуги. При производстве товаров и услуг в каждой отрасли расходуются определённые ресурсы, которые производятся как в других отраслях, так и в данной отрасли. Это означает, что каждая отрасль экономики вы- ступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должна произвести каждая отрасль для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идёт на потребление в производящих отраслях, а другая её часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса; при этом потребление в секторе конечного спроса может меняться.

— объём выпуска i-го сектора (объем товаров и услуг, произведенных в одном из n производящих секторов), i=1,2. n;

— объём товаров и услуг i-го сектора, потребляемых в j-ом секторе;

— конечный продукт i-го сектора (объём продукции i-го сектора, потребляемой в секторе конечного спроса);

— количество продукции i-го сектора, которое расходуется при производстве одной единицы продукции j-го сектора (коэффициенты прямых затрат).

Межотраслевой баланс — это равенство объема выпуска каждого производящего сек- тора суммарному объёму его продукции, потребляемой производственными секторами и сектором конечного спроса. В приведенных обозначениях имеем соотношения баланса:

Соотношения баланса, записанные через коэффициенты прямых затрат, имеют вид:

или, что то же самое,

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в сектор конечного спроса от каждого производственного сектора поступает та часть произведенной продукции, которая остаётся после того, как обеспечены потребности производящих секторов.

Если обозначить вектор выпуска через X, вектор спроса (вектор конечного продукта) – через Y, а структурную матрицу экономики – матрицу, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат – через A, то соотношение баланса в матричной форме имеют вид: (E-A)X=Y, где E – единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как . Матрица называется матрицей полных затрат.

Практическая часть.

Пусть задана модель экономики, в которой выделены четыре сектора: три производящих сектора (промышленность, сельское хозяйство, транспорт) и домашние хозяйства в качестве сектора конечного спроса. Структура экономики описана в таблице межотраслевого баланса (объёмы указаны в единицах стоимости):

Вычислим вектор выпуска для вектора конечного спроса Y=(100 150 120).

Рабочая программа «Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности» по математике для 10-11 классов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №4 г.Тосно»

платных образовательных дополнительных услуг

«Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности»

для учащихся 10-го класса

на 2020-2020 года

Автор программы , учитель математики высшей категории

(фамилия, имя, отчество, должность, категория)

Рабочая программа «Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности» по математике для 10-11 классов (профильный уровень) разработана в соответствии со следующими нормативными документами:

-Федеральным законом Российской Федерации -ФЗ «Об образовании в Российской Федерации»;

-Положением о правилах оказания платных образовательных услуг МБОУ «СОШ №4 г. Тосно», утвержденным приказом директора № 000 от 01.01.2001г.;

— Кодификатор элементов содержания для составления контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2020 по математике (профильный уровень)

Платные образовательные дополнительные услуги «Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности» в 10-11 классахориентированы на рассмотрение избранных вопросов математики, как углубляющих школьный курс, так и значительно расширяющих рамки школьной программы. Курс является предметно ориентированным. Программа дополняет и развивает школьный курс математики, способствует обеспечению прочного овладения учащимися системой математических знаний и умений для успешной сдачи экзамена, применения полученных знаний и навыков в повседневной жизни и продолжения образования. Методологической основой предлагаемого курса является деятельностный подход к обучению математике. На занятиях учащиеся на только учатся решать готовые задания, но и учатся рассуждать, ищут различные способы деятельности, приёмы решения задач, самостоятельно выделяют основные вопросы курса, сами составляют задания.

Курс рассчитан на учащихся общеобразовательного класса, желающих хорошо подготовиться к профильному уровню ЕГЭ по математике и к дальнейшему изучению математики в ВУЗах.

— создание условий для развития математических, интеллектуальных способностей учащихся.

— коррекция и углубление конкретных математических знаний, необходимых для прохождения государственной (итоговой) аттестации за курс средней полной школы в форме и по материалам ЕГЭ (профильный уровень), для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.

-расширение и углубление школьного курса математики;

-актуализация, систематизация и обобщение знаний учащихся по математике;

-развитие логического мышления, пространственного воображения, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе;

-развитие интереса учащихся к изучению математики;

-формирование у учащихся навыков применения знаний при решении задач повышенного уровня;

-сформирование навыков самостоятельной работы с контрольно-измерительными материалами в форме ЕГЭ.

Программа платных образовательных дополнительные услуг «Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности» в 10 классе рассчитана на 56 учебных часов (2 учебных часа в неделю), в 11 классе рассчитана на 60 учебных часов (2 часа в неделю).

Изучение курса предполагается построить в основном в виде уроков – практикумов, на которых можно работать как со всейгруппой учащихся, так и индивидуально. Занятия строятся с учетом индивидуальных особенностей обучающихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала. Чтобы оценить динамику усвоения учащимися того или иного раздела будут проведены промежуточные аттестации. Промежуточная аттестация по каждому из разделов будет проведена в виде домашних самостоятельных работ. Эта форма контроля выбрана потому что дома ученик не ограничен во времени, а значит может решить большее количество заданий, а так же провести самоанализ проделанной им работой.

Мастер Йода рекомендует:  Раздражающую рекламу научился фильтровать Яндекс.Браузер

Реализация программы обеспечена следующимучебно-методическим комплектом:

ЕГЭ 2020. Математика. Практикум. Подготовка к выполнению части 2. , (2020, 128с.)

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2020 год. Под ред. , (2015, 352с.)

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2020 год. Решения с методическими рекомендациями. Под ред. , (2020, 352с.)

ЕГЭ 2020. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. , и др. (2020, 144с.)

Подготовка к ЕГЭ по математике в 2020 году. Профильный уровень. Методические указания. , (2020, 204с.)

ЕГЭ 2020. Математика. Тематические тренировочные задания. , (2015, 208с.)

ЕГЭ. 4000 задач с ответами по математике. Все задания. Базовый и профильный уровни. и др. (2020, 640с.)

Математика. Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ. , и др. (2020, 352с.)

Геометрические задачи с решениями на ЕГЭ и ОГЭ 2020г. (2015, 170с.)

, . ЕГЭ 1000 задач. Математика./ — М: Экзамен. 2015.

. Решение сложных задач ЕГЭ по математике. 9 – 11 классы. / — М: ВАКО. 2011.

. Задачи с параметрами./ — М: Илекса. 2010.

Математика. Задачи с экономическим содержанием. Под редакцией ., . ./ — Ростов-на- Дону: Легион. 2020.

Планируемые результаты освоения учебного курса «Приёмы решения математических задач повышенного уровня сложности»

В результате изучения курса учащийся научится:

— находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, значения тригонометрических выражений на основе определений и основных свойств, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах;

-выполнять тождественные преобразования тригонометрических, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений;

-вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

-определять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции;

-описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций;

-строить графики линейной, квадратичной, тригонометрических, степенной, показательной и логарифмической функций;

-решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков;

-решать рациональные, тригонометрические, иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, их системы;

-решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы;

-составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

-использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;


-изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем;

-вычислять производные и первообразные элементарных функций;

исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа;

-решать геометрические задачи с применением соотношений и пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, основных теорем для произвольного треугольника;

-решать геометрические задачи на клетчатой бумаге.;

-использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни дляпостроения и исследования простейших математических моделей;

развернуто, логично и точно излагать свою точку зрения с использованием адекватных (устных и письменных) языковых средств;

организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять роли и функции участников, общие способы работы; при осуществлении групповой работы быть как руководителем, так и членом команды в разных ролях (генератор идей, критик, исполнитель, выступающий, эксперт и т.д.).

Получит возможность научится:

— самостоятельное создание алгоритмов познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера;

— находить и приводить критические аргументы в отношении действий и суждений другого; спокойно и разумно относиться к критическим замечаниям в отношении собственного суждения, рассматривать их как ресурс собственного развития;

— выходить за рамки учебного предмета и осуществлять целенаправленный поиск возможностей для широкого переноса средств и способов действия;

— планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач.

Содержание рабочей программы

  1. Планиметрическая задача (18 часов)

Многоугольники: вычисление длин и углов, площадей.Круг и его элементы. Координатная плоскость. Решение прямоугольного треугольника. Решение равнобедренного треугольника. Треугольники общего вида. Параллелограммы. Трапеция. Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая. Вписанные окружности. Описанные окружности.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

Развитие систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем.

  1. Начала теории вероятностей (4 часа)

Построение и исследование простейших математических моделей: моделирование реальных ситуаций на языке теории вероятностей и статистики; вычисление в простейших случаях вероятности событий.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

Умение определять вероятность значения вероятности используя теоремы о вероятностях событий.

Задачи на проценты, сплавы и смеси. Задачи на движение по прямой и по окружности. Задачи на движение по воде. Задачи на совместную работу и прогрессии.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

Использование уравнения и неравенства для построения и исследования простейших математических моделей реальных ситуаций или прикладных задач; умение интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат, оценивать его правдоподобие в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи

Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа. Составление обобщающих информационных конспектов. Развитие умения производить аргументированные рассуждения, проводить обобщение. Работа с литературой (учебной и справочной). Выполнение работы по предъявленному алгоритму.

  1. Финансовая математика (8 часов)

Задачи на использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни: анализ реальных числовых данных и информации статистического характера; осуществление практических расчетов по формулам, использование оценки и прикидки при практических расчетах.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

  1. Вычисления и преобразования (6 часа)

Преобразования числовых рациональных выражений. Преобразования алгебраических выражений и дробей. Преобразования числовых иррациональных выражений. Преобразования буквенных иррациональных выражений. Вычисление значений степенных выражений. Действия со степенями. Преобразования числовых логарифмических выражений. Преобразования буквенных логарифмических выражений. Вычисление значений тригонометрических выражений. Преобразования числовых тригонометрических выражений. Преобразования буквенных тригонометрических выражений.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

  1. Числа и их свойства (12 часов)

Задачи на знание свойств делимости чисел. Числовые наборы на карточках и досках. Последовательности и прогрессии. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

  1. Уравнения, неравенства, задачи с прикладным содержанием(26 часа)

Линейные, квадратные, кубические, рациональные, иррациональные, показательные,логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства, Схема Горнера.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

Умение классифицировать уравнения и неравенства по типам и распознавать различные методы решения уравнений и неравенств. Использование методов решения уравнений: приведение к виду «произведение равно нулю» или «частное равно нулю», замена переменных; метод интервалов для решения неравенств. Умение приводить примеры, подобрать аргументы, сформулировать выводы. Умение объяснить изученные положения на самостоятельно подобранных конкретных примерах. Самостоятельное составление алгоритмических предписаний и инструкций по теме.

Использование графического метода для приближенного решения уравнений и неравенств; изображение на тригонометрической окружности множество решений простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

Умение выполнять отбор корней уравнений или решений неравенств в соответствии с дополнительными условиями и ограничениями.

Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Использование уравнения и неравенства для построения и исследования простейших математических моделей реальных ситуаций или прикладных задач; умение интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат, оценивать его правдоподобие в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи

Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа. Составление обобщающих информационных конспектов. Развитие умения производить аргументированные рассуждения, проводить обобщение. Работа с литературой (учебной и справочной). Выполнение работы по предъявленному алгоритму.

  1. Производная и первообразная (4 часа)

Исследование степенных и иррациональных функций. Исследование частных. Исследование произведений. Исследование показательных и логарифмических функций. Исследование тригонометрических функций. Исследование функций без помощи производной. Физический смысл производной. Геометрический смысл производной, касательная. Применение производной к исследованию функций. Первообразная.

Умение определять значение производной функции в точке по изображению касательной к графику, проведённой в этой точке. Решение несложных задач на применение связи между промежутками монотонности и точками экстремума функции, с одной стороны, и промежутками знакопостоянства и нулями производной с другой стороны.

Вычисление производных элементарных функций и их комбинаций, используя справочные материалы. Умение исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших рациональных функций с использованием аппарата математического анализа.

  1. Задача с параметром (16 часов)

Функции, зависящие от параметра. Уравнения с параметром. Неравенства с параметром. Системы с параметром.

Основные виды деятельности учащихся (познавательная, информационно-коммуникативная, рефлексивная).

  1. Стереометрическая задача (14 часа)

Задачи на доказательство и вычисление. Угол между скрещивающимися прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до прямой и до плоскости. Сечения многогранников. Объёмы многогранников. Круглые тела: цилиндр, конус, шар, куб, прямоугольный параллелепипед, элементы составных многогранников.Площадь поверхности составного многогранника. Объем составного многогранника. Призма. Пирамида. Комбинации тел.

О некоторых особых случаях использования численных методов в решении математических задач применительно к реализации обучающих программных продуктов по математике Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Возженников А. П.

Рассмотрены особые случаи использования численных методов в разработке обучающих программных продуктов: модификация или компиляция известных методов, привлечение статистических методов в качестве альтернативы аналитическим формулам, дискретизация значений функции; приведены примеры использования, описаны алгоритмы и математические модели.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Возженников А.П.,

About some particular cases of using numerical methods in solving mathematical problems to be applied in teaching software development

Some particular cases of using of numerical methods in teaching software development are considered in the article: modification or compilation of known methods, attraction of statistical methods as an alternative of analytic formulas, digitizaiton of the function’s meanings; examples of using are cited, algorithms and mathematical models are described.

Текст научной работы на тему «О некоторых особых случаях использования численных методов в решении математических задач применительно к реализации обучающих программных продуктов по математике»

ИННОВАЦИОННЫЕ ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЫХ СЛУЧАЯХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕАЛИЗАЦИИ ОБУЧАЮЩИХ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

Кафедра высшей математики и программного обеспечения ЭВМ Мурманский государственный технический университет ул. Спортивная, 13, Мурманск, Россия, 183010

Рассмотрены особые случаи использования численных методов в разработке обучающих программных продуктов: модификация или компиляция известных методов, привлечение статистических методов в качестве альтернативы аналитическим формулам, дискретизация значений функции; приведены примеры использования, описаны алгоритмы и математические модели.

Вычислительный эксперимент как индуктивный подход, используемый часто для нахождения решения сложных математических задач, может также использоваться применительно к классу учебных задач при условии их реализации на ЭВМ. Возможностью построения математической модели для автоматизации решения представленной задачи во многом определяется степень ее вариативности. Основное отличие учебной задачи от научной заключается в том, что преподаватель всегда может упростить модель фиксированием значений некоторых ее параметров либо поставить существенные ограничения на параметры модели. Это позволяет утверждать, что для всякой учебной математической задачи возможно построить модель с такими ограничениями на значения параметров этой модели, что задача станет несложной для программной реализации, а адекватность ее модели может быть подтверждена вычислительным экспериментом на достаточно большом наборе учебных задач. В качестве таких ограничений могут выступать точность и диапазон допустимых значений параметров модели, степень надежности получаемых результатов и другие ограничения.

Программная реализация подобных моделей позволяет не только решать математические задачи учебного назначения, но и автоматизировать процесс исследования решений, динамически визуализировать объекты, а также прогнозиро-

вать их поведение. Это позволяет пользователю (обучающемуся) приобрести некоторые базовые навыки работы с объектами изучения: вычисление значений, построение графиков, определение характеристик, исследование влияния параметров и т.п. Реализация автоматического решения задач по конкретной теме предоставляет также возможность организации модулей самопроверки и тестирования путем генерации задач со случайными значениями параметров из предусмотренного множества их значений и последующей автоматической проверкой ответов [1].

Очевидно, что подобные разработки требуют привлечения математического аппарата, несколько более сложного, чем тот, который используется в рамках изучаемой дисциплины при решении задач вручную. Опыт разработки обучающих программных продуктов поддержки учебного процесса по дисциплинам «Математический анализ» и «Высшая математика» позволяет выделить в программной реализации отдельных приложений некоторые особые случаи использования численных методов, которые описаны ниже.

Модификация или компиляция известных методов. Теоретически известный численный метод решения задачи часто требует адаптации к предметной области. Такая адаптация может повлечь за собой как обобщение метода, так и его функциональное ограничение. Возможны случаи объединения нескольких методов, т.е. компиляция.

В качестве примера реализации подхода рассмотрим определение численных характеристик функции при ее исследовании, в том числе предельного поведения функции. Для численного нахождения нулей функции на заданном отрезке необходимо расширить классический метод, предполагающий разницу знаков функции на концах отрезка, до более общего, который будет включать проверку существования значения функции в каждой из проверяемых точек отрезка, а также выделять случаи, когда функцию можно считать равной нулю на некоторой части отрезка.

Таким образом, можно предположить следующий алгоритм нахождения нулей функции на заданном отрезке:

1) задается функция /(х), концы отрезка а и Ь, точность вычислений 8 и шаг дискретизации Н для значений аргумента х;

2) вычисляются значения функции /(х) в каждом узле одномерной сетки, покрывающей отрезок [а, Ь];

3) при смене знака функции (при выполнении условия /(х — Н) • /(х) i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4) в случае близости значения функции /(х) к нулю с заданной точностью (при выполнении условия | /(х) | 0

при Ух е [а; Ь] и | р(х)йх = 1. Если ввести еще одну непрерывную случайную

величину п = g (^)/ р(^), то ее математическое ожидание совпадает со значением искомого интеграла (1):

Мп = И4 • р(х)^х = 1. (2)

Далее рассматриваются N одинаковых случайных величин п1, П2, . Пж, которые являются реализациями случайной величины п в N независимых испытаниях и имеют такие же математическое ожидание и дисперсию, как и случайная величина п. Если число N достаточно велико, то, согласно центральной предельной

теореме, распределение суммы Епу является близким к нормальному с пара-

метрами а = N • Мп = N • I, а2 = N • Бп. В соответствии с правилом «трех сигм» для нормального распределения имеем

Это соотношение означает, что при достаточно большом значении N верно приближенное равенство:

Соотношение (3) показывает также, что с вероятностью Р « 0,997 ошибка приближения (4) не превосходит 3^1 Ог] / N , т.е. обратно пропорциональна -\[м . Для

расчета можно использовать любую случайную величину ^, определенную на промежутке [а, Ь], однако дисперсия Бп , а с ней и оценка погрешности метода зависят от того, какая случайная величина £, будет использована.

Исходя из того, что задача является учебной и реализуется программно, целесообразно ограничиться для всех случаев одной и той же равномерно рас-

пределенной псевдослучайной величиной Е, которую можно получить в любой современной среде программирования без привлечения дополнительных алгоритмов генерации псевдослучайных чисел. Такой подход существенно упрощает программную реализацию вычислений.

Для равномерного распределения p( x) = —1— формула (4) имеет вид:

J g(x)dx * —Na ]T g(E .). (5)

Видоизменим формулу (5), разделив обе части приближенного равенства на (b — а) Ф 0 :

b-Jg(x)dx * ^Xg i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

JJg(xy)dxdy * SD •—X g(xj,yj), (8)

JJJ g ( x , y, z )dxdydz * VD — X g(xj ,yj, zj)- (9)

Если область D задается в декартовых координатах системой неравенств, то мера этой области вычисляется так:

SD =J(y2(x) — Уl(x))dx, (10)

VD =Jdx J (Z2(X,y) — Z1(x,y))dy- (11)

Для вычисления интегралов (10) и (11) также может использоваться метод Монте-Карло.

Алгоритм генерации псевдослучайных точек Mj (xj,yj, z-), равномерно

распределенных в области D, легко реализуется стандартной функцией Random при условии, что известны наибольшие и наименьшие значения независимых переменных: a 103 , вне зависимости от вида функции g(M) и области интегрирования D. Эмпирически установлено, что вычисление меры области D точным методом (вручную) не оказывает существенного влияния на погрешность результатов, но усложняет алгоритмизацию метода. Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблицах 1 и 2.

Р П j* x J dxJ cos(x + y)dy = -2

Кол-во Приближенное Абсолютная Относительная

точек N значение I погрешность AI погрешность Sj

4 975 -2,0098 0,0098252 0,49126%

4 955 -2,0101 0,0101044 0,50522%

5 011 -2,0015 0,0014862 0,07431%

11 dx 11-xdy 11-x-y 1 3 dz = 1 f ln2 51 J 0 J 0 J 0 (x + y + z +1)3 2 f 81

Кол-во точек N’ Приближенное значение I Абсолютная погрешность AI Относительная погрешность Sj

5 021 0,034185 0,000104592 0,306958%

4 992 0,034212 0,000065919 0,193463%

4 983 0,034291 0,000048584 0,142587%

Полученные формулы эффективны для применения в учебных задачах, связанных с численным интегрированием функций одной и нескольких переменных.

Дискретизация значений функции одной и нескольких переменных. Визуализация решения математических задач на компьютере изначально предполагает некоторую дискретность, обусловленную заданным масштабом изображения. Иными словами изначально существует определенный уровень детализации объектов, превышение которого не является целесообразным — разрешение экрана, то есть количество точек, отображаемых на мониторе (количество пикселей). Таким образом, всякое непрерывное множество может быть представлено как дискретное с единичным шагом, соответствующим изменению экранной координаты на один пиксель монитора. Исходя из этого, многие задачи возможно решать переборным способом для конечного числа дискретных значений функции и ее аргумента.

Общий подход заключается в следующем: имеется некоторая двумерная область, отображаемая на экране дискретным двумерным множеством пикселей. Каждый пиксель можно считать узлом сетки, покрывающей данную область. Шаг сетки соответствует изменению экранной координаты на один пиксель монитора. Требуется проверить в каждом узле сетки некую характеристику функции, заданной на этой области и графически отобразить эту характеристику на экране. Последовательный перебор всех узлов сетки с вычислением требуемой характеристики в каждом узле и закрашиванием соответствующего узлу пикселя даст искомое графическое решение.

Так, программная реализация задачи построения двумерной области по системе неравенств является элементарной при дискретизации значений переменных в заданных неравенствах. Перебирая все отображаемые на экране точки дискретной области с единичным шагом по каждой координате, можно проверить в каждой точке (х^, уj) выполнение всех неравенств системы для ее координат х и у.

Если выделить каждую точку, удовлетворяющую системе неравенств, цветом, отличным от цвета области, то в результате перебора получается графическое представление искомой области.

Другим примером использования дискретизации может служить построение линии уровня функции / (х, у) в заданной двумерной области Б, также основанное на последовательном вычислении значения функции в каждом из узлов сетки, покрывающей область Б. Если в некоторой точке (х^, Уj) значение функции

/(х^, Уj) отличается от заданного значения уровня /(х, у) = С не более, чем на 8,

то точку (х^, у!) считать принадлежащей линии уровня и закрашивать цветом.

Следует отметить, что величина 8 будет прямо пропорционально влиять на толщину линии уровня. Кроме того, толщина линии уровня будет одинаковой только на тех участках, где значения частных производных функции / (х, у) будут мало отличаться по значению, что обеспечивает примерно одинаковую скорость изменения функции. Это значит, что в общем случае построенная таким способом линия уровня будет неравномерной толщины, что нежелательно в научных или производственных целях, но вполне приемлемо в учебных.

Еще одним примером использования дискретизации может служить цветовое представление значений функции в некоторой одномерной, двумерной или трехмерной области, т.е. цветомодуляция функции. Можно рассматривать цвето-модуляцию как некий оператор отображения численного значения функции /(х,) в вектор ЯОВ, компонентами которого являются цветовые составляющие пикселя:

В каждом узле сетки, покрывающей область, вычисляется значение функции, далее к этому значению применяется оператор цветомодуляции, и пиксель, соответствующий узлу сетки, закрашивается полученным цветом.

Для построения оператора цветомодуляции достаточно определить верхнюю и нижнюю границы значений функции в представляемой области!. Обозначим их как /в и /н соответственно. Каждый из компонентов вектора ЯОВ принимает

значения в отрезке [0; 1]. Задача построения оператора цветомодуляции сводится к построению линейного отображения отрезка [/н; /в] в отрезок [0; 1]:

В качестве примера рассмотрим цветомодуляцию от синего цвета к красному, где чистый синий цвет (0, 0, 1) означает наименьшее, а чистый красный (1, 0, 0) — наибольшее значения функции:

Цветомодуляция дает возможность визуально охарактеризовать поведение функции в области — увидеть направления и скорость ее возрастания и убывания, зоны ее экстремальных значений и т.п. Эффективным оказалось применение данного подхода к визуализации механической трактовки кратных интегралов. Например, визуализация двойного интеграла как массы тонкой пластинки с неравномерно распределенной плотностью, при этом значение подынтегральной функции представлялось с помощью цветомодуляции.

В заключение следует отметить, что перечисленные случаи использования известных численных методов в решении математических задач применительно к реализации обучающих программных продуктов по математике являются обобщением существующих разработок, апробированных в учебном процессе и подтвердивших эффективность их использования для упрощения, наглядности и доступности изучаемого материала.

[1] Возженников А.П. Разработка тестирующего программного обеспечения на базе автоматического решения задач высшей математики // XVI конференция-выставка «Информационные технологии в образовании»: Сборник трудов участников конференции. Часть III. — М.: БИТ про, 2006. — С. 21—23.

[2] Соболь И.М. Метод Монте-Карло. — М.: Наука, 1968.

[3] Бергман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Наука, 1985.

ABOUT SOME PARTICULAR CASES OF USING NUMERICAL METHODS IN SOLVING MATHEMATICAL PROBLEMS TO BE APPLIED IN TEACHING SOFTWARE DEVELOPMENT

Department of High Mathematics and Programming Software Murmansk State Technical University Sportivnaya str., 13, Murmansk, Russia, 183010

Some particular cases of using of numerical methods in teaching software development are considered in the article: modification or compilation of known methods, attraction of statistical methods as an alternative of analytic formulas, digitizaiton of the function’s meanings; examples of using are cited, algorithms and mathematical models are described.

Добавить комментарий