Напишите код, разбивающий связный список вокруг некоторого значения так, чтобы все меньшие узлы


Оглавление (нажмите, чтобы открыть):

Графы. Применение графов к решению задач

1. Методические рекомендации к теме “Графы”.

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4×4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными.

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими ?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема: Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство: Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема: Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3×3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:


При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей ?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение. Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство. Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi (20 стр.)

Односвязные списки

По своей сути связный список (linked list) представляет собой цепочку элементов или объектов с некоторыми описаниями (обычно называемых узлами). При этом каждый элемент содержит указатель, указывающий на следующий элемент в списке. Такая структура данных называется односвязным списком (singly linked list) — каждый элемент имеет только одну ссылку или указатель на следующий элемент. Сам список начинается с первого узла, от которого путем последовательных переходов по ссылкам можно обойти все остальные узлы. Обратите внимание, что определение связного списка отличается от определения массива, для которого следующий элемент находится в памяти рядом с предыдущим. В связном списке элементы могут быть разбросаны по разным местам памяти, а их порядок определяется ссылками.

Рисунок 3.1. Односвязный список

А каким образом помечается конец списка? Самый простой способ — установить указатель ссылки в последнем элементе списка равным nil. Это будет означать, что следующий элемент отсутствует. Второй способ — ввести специальный узел, называемый конечным узлом, и установить так, чтобы ссылка последнего узла указывала на этот узел. И третий способ — установить так, чтобы ссылка последнего узла указывала на первый элемент. В этом случае мы получим круговой связный список.

А теперь рассмотрим, чем же связный список отличается от массива. Первое, что нужно отметить, — размер связного списка можно не устанавливать. Для массива нам всегда было нужно заранее знать, сколько элементов будет в нем храниться (чтобы можно было статически распределить непрерывный участок памяти) или разработать некоторую схему расширения массива (или его сокращения), чтобы массив мог разместить большее (или меньшее) количество элементов. В связном списке каждый узел является отдельным элементом. И в простых случаях распределение памяти под каждый узел выполняется отдельно. При необходимости добавления в список нового элемента под него распределяется память, а затем элемент просто на него устанавливается ссылка из списка. При удалении узла нужно всего лишь удалить ссылки на него и освободить занимаемую им память.

Хорошо. Если связный список настолько удобен, почему бы его не использовать вместо массива? В чем состоят его недостатки? Первый, хотя и незначительный, состоит в том, что каждый элемент связного списка должен содержать указатель на следующий элемент. Таким образом, чтобы вставить элемент в список, его реальный размер необходимо увеличить на размер указателя (в настоящее время это 4 байта).

Хуже то, что память под каждый узел распределяется отдельно. Сравним эту ситуацию с аналогичной ситуацией для массива. Распределение памяти под n элементов массива, фактически, представляет собой операцию класса O(1): все элементы должны находится в одном непрерывном блоке памяти, поэтому одновременно распределяется целый блок. (Нужно помнить, что память для элементов массивов не обязательно должна распределяться из кучи. Массивы могут представлять собой, например, локальные переменные в стеке.) Для связного списка память под узлы распределяется отдельно, следовательно, это операция класса O(n). Даже если не учитывать быстродействие, подобное поведение может привести к фрагментации кучи.

Самым большим недостатком связного списка является получение доступа к некоторому элементу n. В массиве доступ к n-ному элементу требует проведения простых арифметических вычислений, поскольку все элементы содержатся в одном непрерывном блоке памяти. С другой стороны, в списке получение доступа к элементу n требует прохождения по ссылкам от первого элемента до n-ного. Другого метода доступа не существует, мы всегда должны следовать по ссылкам. (Обратите внимание, что можно применить определенные хитрости, например, хранить элемент и его позицию в рамках списка в кэш-памяти. В таком случае можно определять целесообразность начала прохождения списка с его первого элемента или с элемента, хранящегося в кэш-памяти.)

Узлы связного списка

Перед началом описания операций со связным списком давайте рассмотрим, как каждый узел списка будет представляться в памяти. Знание структуры узла позволит нам более детально рассматривать основные операции со связными списком. Структура узла списка, не использующего классы и объекты, выглядит следующим образом:

Тип PSimpleNode представляет собой указатель на запись TSimpleNode, поле Next которой содержит ссылку на точно такой же узел, а поле Data — сами данные. В приведенном примере тип данных узла задан как SomeDataType. Для перехода по ссылке нужно написать примерно следующий код:

NextNode, CurrentNode : PSimpleNode;

Создание односвязного списка

Это тривиальная задача. В самом простом случае первый узел в связном списке описывает весь список. Первый узел иногда называют головой списка.

Если MyLinkedList содержит nil, списка еще нет. Таким образом, это начальное значение связного списка.

Мастер Йода рекомендует:  Тренды в веб в 2020 какие они

Вставка и удаление элементов в односвязном списке

А каким образом можно вставить новый элемент в связный список? Или удалить? Оказывается, что для выполнения этих операций требуется выполнить небольшую работу с указателями.

Для односвязного списка существует только один вариант вставки — после заданного элемента списка. Нужно установить так, чтобы указатель Next нашего нового узла указывал на узел после заданного, а указатель Next заданного узла — на наш новый узел. В коде это выглядит следующим образом:

GivenNode, NewNode : PSimpleNode;

.. задать значение поля Data..

Рисунок 3.2. Вставка нового узла в односвязный список

Аналогично, для удаления простейшим вариантом является удаление элемента, находящегося после заданного узла. В этом случае мы устанавливаем, чтобы указатель Next заданного узла указывал на узел, расположенный после удаляемого. После этого удаляемый узел уже выделен из списка и может быть освобожден. В коде это выглядит следующим образом:

Часть 3. Классификация связных списков

Серия контента:

Этот контент является частью # из серии # статей: Работа со структурами данных в языках Си и Python

Этот контент является частью серии: Работа со структурами данных в языках Си и Python

Следите за выходом новых статей этой серии.

В этой статье рассматривается история связных списков и теоретические вопросы, связанные с их применением. В сферу применения связных списков попадают такие дисциплины, как лингвистика и теория алгоритмов. Связные списки являются неотъемлемым атрибутом компьютерных программ, начиная со словарей, баз данных и заканчивая ядром Linux.

История связных списков


Основной принцип связных списков крайне прост: эта структура данных состоит из последовательности записей, в которой каждая запись хранит помимо самих данных еще и ссылку на следующую запись в этой последовательности. На рисунке 1 изображен связный список из трех записей, каждая запись которого состоит из поля данных — целого числа и ссылки на следующую запись.

Рисунок 1. Пример связного списка

У последней записи на рисунке отсутствует ссылка, но она есть и указывает на NULL. На основе списков можно реализовать структуры данных, такие как стеки, очереди и ассоциативные массивы.

Ранее уже упоминалось, что в массиве все элементы расположены в памяти по порядку, а в списке они в памяти никак не упорядочены. Более того, элемент может быть добавлен в любую позицию в списке. Однако сама операция по вставке элемента в список требует дополнительных ресурсов, так как нужно последовательно просканировать список для поиска нужной позиции.

В классическом языке Си есть только массив, но отсутствует встроенная реализация связного списка. Однако в других языках, например, в Lisp, существует встроенная реализация данной структуры. Официальная «дата рождения» связных списков — 1955 год, когда они появились на стыке логической теории машин и алгоритмов для решения шахматных задач. Тогда же связные списки начали использоваться для решения проблем трансляции натуральных языков в лингвистических задачах. В 1958 году появился язык Lisp, и связный список стал одной из базовых структур этого языка.

Связные списки стали применяться и при разработке операционных систем, например, для реализации файловых систем. Так, для операционной системы TSS/360 компания IBM разработала двойные связные списки и утилиту на их основе для исправления ошибок в файловой системе. Если при сканировании каталога обнаруживался поврежденный элемент, то происходил откат с заменой поврежденного элемента на его предыдущую версию.

Основные правила реализации связных списков

Список состоит из элементов, называемых узлами (node). Первый узел списка называется «головным» (head), а последний — «хвостовым» (tail). На рисунке 2 изображен двойной связный список.

Рисунок 2. Двойной связный список

Каждый элемент состоит из 3-х полей, два из которых являются указателями на предыдущий или следующий узел. Элемент может указывать и более чем на два узла, и в этом случае список называется многосвязным.

Помимо упоминавшихся ранее стандартных массивов существуют еще динамические массивы. Размер обычного массива является фиксированной величиной, а в динамический массив можно добавлять или удалять из него элементы. Если элемент добавляется в середину динамического массива, то происходит перераспределение элементов, находящихся справа от него, так как все элементы массива должны быть расположены в памяти строго по порядку. Поэтому вставка элемента в динамический массив требует дополнительных ресурсов, если элемент добавляется не в конец массива. Преимущество связного списка в том, что не требуется перестраивать последовательность узлов, независимо от того, в какую позицию списка вставляется новый элемент. Недостаток связных списков – это последовательный доступ (sequential access) к элементам, тогда как для массивов время доступа постоянно и не зависит от размера — random access. Если приложению требуется быстрый поиск элемента по индексу, то в данном случае списки не подходят, и лучше воспользоваться массивами.

Еще один негативный момент при использовании связных списков связан с нерациональным использованием памяти. Если в узле хранится небольшая порция данных, например, булевское значение, то список становится неэффективными из-за того, что объем памяти, выделяемой под хранение связей, превышает объем памяти, выделяемой под хранение «полезной нагрузки». Для решения этой проблемы существуют развернутые связные списки — unrolled linked list, каждый элемент которого включает целый массив данных. Пример такого списка приведен в листинге 1.

Листинг 1. Развернутый связный список

Связный список — это рекурсивная структура, так как узел всегда содержит указатель на следующий узел. Это позволяет использовать простой рекурсивный алгоритм для таких операций, как объединение двух списков или изменение порядка элементов на обратный. У односвязных списков есть важное преимущество: если к вершине такого списка добавляется новый элемент, то старый список будет по прежнему доступен по ссылке на только что добавленный узел. Этот прием называется persistent data structure (постоянное хранение данных). У двусвязных списков есть свои преимущества, так как они позволяют выполнять итерацию в обоих направлениях, в отличие от односвязных списков.

Если последний элемент будет указывать на первый элемент списка, то такая структура называется циклическим замкнутым (или кольцевым (circular)) списком. Кольцевые списки можно использовать для списка процессов, в которых применяется «карусельный» (round-robin) алгоритм. Для такого списка достаточно иметь один указатель, который одновременно указывает и на конец, и на начало очереди. Кольцевой список можно разбить на два кольцевых списка или, наоборот, объединить.

Рисунок 3. Кольцевой связный список

Топологическая сортировка

Примеры топологической сортировки

Техническая задача разбивается на ряд подзадач, при этом выполнение одних подзадач должно предшествовать выполнению других подзадач. Топологическая сортировка означает выполнение подзадач в таком порядке, чтобы перед началом выполнения каждой подзадачи все необходимые для этого подзадачи были уже выполнены.

В программе некоторые процедуры могут вызывать другие процедуры. Топологическая сортировка предполагает расположение описаний процедур в таком порядке, чтобы вызываемые процедуры описывались раньше тех, которые их вызывают.

Под топологической сортировкой понимается сортировка элементов, для которых определен частичный порядок, т.е. упорядочивание задано не для всех, а только для некоторых пар элементов.

Предполагается, что существует множество из 3-х элементов a, b и c, которое удовлетворяет трем правилам:

    транзитивность: если a

Элемент исходного множества, содержащийся в нем только один раз, является лидером, а остальные — ведомыми. Первоначально исходное множество задается в виде списка пар, как показано в листинге 3.

Листинг 3. Исходное множество

На первом шаге эти пары читаются и создается список лидеров. Затем для каждого лидера формируется свой список ведомых. На платформе Unix есть специальная консольная утилита tsort, которая получает на вход список пар и выдает конечный линейный список.

Листинг 4. Использование утилиты tsort

Задача Иосифа Флавия

Иосиф Флавий — это исторический деятель, живший в первом веке нашей эры, с которым была связана одна драматическая история. Об этой истории можно прочесть по >>следующей ссылке

Если структуру list_head добавить к любой другой структуре, то эта структура станет частью связного списка. В листинге 6 создаются два элемента связного списка и инициализируются двумя различными способами.

Листинг 6. Два способа инициализации

Метод LIST_HEAD_INIT, используемый в первом варианте, — это следующий макрос:

В ядре Linux макросы используются вместо обычных функций, так как макросы позволяют сгенерировать более эффективный код, что положительно сказывается на производительности. Во втором варианте используется inline-функция, приведенная в листинге 7.

Листинг 7. Функция для инициализации списка

Как видно из определения, создаваемый список является двусвязным, так как в нем содержатся указатели на следующий и предыдущий элементы. Использование inline-функции вместо обычной также окажет положительное влияние на производительность. Когда компилятор будет генерировать исполняемый код этой функции, то он поместит его в объектном файле непосредственно в то место, где была вызвана эта функция. Благодаря этому не потребуется тратить ресурсы на вызов функции.

Для создания самого списка, также будет использоваться макрос — LIST_HEAD:

А для добавления элементов будет использоваться inline-функция list_add, которая служит «оболочкой» для вызова еще одной функции __list_add.

Листинг 8. Функции для добавления элементов в список

Теперь можно добавить элементы в только что созданный список:

В результате получится связный список, состоящий из 2-х элементов, и указатель на первый элемент в переменной mylinkedlist. Для просмотра содержимого списка или выполнения итерации также используются макросы с целью получения быстрого и эффективного исполняемого кода.

Листинг 9. Макрос для просмотра содержимого списка
Листинг 10. Использование макроса для итерации по списку

Исходный код в листинге 11 суммирует всю информацию, представленную в этой статье. В нем демонстрируется реализация связного списка с помощью макроса define_list, принимающего на вход два параметра — имя списка и тип элемента. Также в листинге 11 объявлены уже знакомые и новые inline-функции, обеспечивающие функциональность связного списка. В методе main объявленные методы и структуры используются для создания связного списка из пяти элементов и последующей итерации по нему.

Листинг 11. Пример объявления и использования связного списка

Заключение

В данной статье рассматривались связные списки, которые относятся к наиболее важным структурам данных, использующихся в современном программировании. В статье рассматривались как теоретические аспекты со связными списками (задача Иосифа Флавия), так и практическая реализация связных списков в ядре ОС Linux. Для теоретической задачи была разработана реализация на двух различных языках программирования: Си и Python. Однако практическая задача была решена с помощью языка Си, так как в нем имеются такие возможности, как inline-функции и макросы, благодаря использованию которых можно значительно увеличить скорость работы приложения.

Задачи на логику собеседование

Но если мы подсчитаем количество возможных вариантов, то сразу убедимся в неэффективности такого подхода: например, простая рекурсивная функция, приведенная ниже, будет потреблять существенные ресурсы уже на 30-ом числе Фибоначчи, тогда как на олимпиадах время решения часто ограничено 1-5 секундами.int fibo(int n) < if (n == 1 || n == 2) < return 1; >else < return fibo(n — 1) + fibo(n — 2); >>

Придумайте, как найти N’е число Фибоначчи за приемлемое время.

Чтобы разобраться в теме, рекомендуем почитать нашу статью про динамическое программирование для начинающих.


Одна из самых известных задач Интернета, будоражащая многие светлые умы человечества.

Самолет стоит на взлетной полосе с подвижным покрытием типа транспортера. Покрытие может двигаться против направления взлета самолета, то есть ему навстречу.

Задачи на логику собеседование

Требуется предложить наиболее удобное в использовании и читаемое решение.

Написать код, который проверяет, пересекутся ли две заданные прямые, лежащие в одной плоскости. Предположим, что нам необходимо разработать структуру данных для хранения информации о прямой, и будем считать, что если две линии совпадают, то они пересекаются.

Классическая задача: посчитать N-е число последовательности, в которой каждый элемент равен сумме двух предыдущих.
Такая последовательность называется последовательностью Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Очень часто на разнообразных олимпиадах попадаются задачи вроде этой, которые, как думается на первый взгляд, можно решить с помощью простого перебора.

Задачи на логику на собеседовании с ответами

Наконец, взвесте два оставшихся шара, и вы найдете самый тяжелый шар. В общей сложности это займет 3 взвешивания. Второе решение: Разделите шары на три группы — в одной группе будет 2 шара, в двух других по 3.

Теперь взвесте две группы по (те, в которых по 3 шара). Если если их вес одинаков, то вам просто останется взвесить какой из двух шаров группы, которую не взвешивали, самый тяжелый.

Если если их вес этих двух групп разный, надо взять группу шаров, которая весит больше. Затем надо взвесить два любых шара из этой группы. Если вес эти шаров одинаков, то шар, который не взвешивали, будет самым тяжелым.

Задачи на логику на собеседовании программиста

Пронумеруем бутылки в двоичной системе, всего у нас 1000 бутылок, значит на это хватит 10 разрядов: 0000000001=1 0000000010=2 0000000011=3 0000000100=4 … 1111100111=999 1111101000=1000 Кроликов нумеруем от одного до десяти. Кроликов надо поить из тех бутылок, где в соответствующем разряде единица (или ноль, если так больше нравится, тогда все наоборот), например из первой бутылки пусть пьет только десятый кролик, а вот из 998й бутылки пусть пьют 1,2,3,4,5,8,9 кролики.
Напоили кроликов, ждем когда наступит день их гибели. Номера кроликов, которые отравились, подскажут нам разряды с «1» (или с «0», если поили нулевых).
То есть если погибли только 8й и 10й кролики, значит яд был в пятой бутылке.

Есть четыре человека, A, B, C и D. Им нужно пересечь мост. Каждому из этих людей необходимо разное время для пересечения моста.

Задачи на логику на собеседовании тестировщика

Например, вы сидите в офисе, а диск вращается в закрытой лаборатории. Единственная возможность определить направление вращения — использовать оцифрованные показания датчика, и ничего больше.

Датчик фиксирует цвет точки в непосредственном месте установки в последовательные моменты времени.

У вас есть исходный код приложения на языке С, которое аварийно завершается после запуска. После десяти запусков в отладчике вы обнаруживаете, что каждый раз программа падает в разных местах.

Собеседование на должность QA-инженера включает несколько этапов: это интервью с HR-специалистом, с техническим экспертом, а также проверка логического мышления.

Вас попросят рассказать о том, почему вы выбрали профессию тестировщика, а также зададут основные вопросы из предметной области. Это нужно, чтобы понять уровень ваших QA-знаний, как хорошо вы располагаете знаниями и оценить готовность обучаться и развиваться на новом рабочем месте.

В свою очередь, проверка логики позволит техническим экспертам проследить ход ваших мыслей, что покажет, обладаете ли вы аналитическим складом ума.

В этот момент не нужно паниковать и молчать. Не знаете ответ наверняка? Размышляйте вслух, даже если задание кажется очень трудным.

В этой статье мы собрали примеры задач, нередко встречающихся на собеседованиях в IT-компаниях и решения к ним.

Сколько нужно потратить монет, чтобы выяснить, где какой автомат?

6) Есть два абонента A и B, почтальон C и открытый сейф с двумя замками. У каждого абонента есть ключ от одного из замков. Если передавать ключ через почтальона, то он может сделать дубликат.

Как передать письмо от одного абонента к другому через почтальона, чтобы тот не смог его прочитать? Как изменится алгоритм, если в сейфе сделать небольшое отверстие для вложения письма?

7) Путник находится в лесу в какой-то случайной точке. Известно, что площадь леса равна S, а форма может быть совершенно произвольная, однако в лесу нет полян.

По какой траектории нужно двигаться путнику, чтобы гарантировано выйти из леса затратив минимальный по длине маршрут?

8) Путешественник прошёл один километр на юг, затем один километр на запад, а после один километр на север и вернулся в исходную точку.

Задачи на логику собеседование аналитика

Сколько существует таких мест на земле? Подсказка: больше одного…

9) Есть огромный файл в несколько гигабайт, в котором записаны целые числа. Нужно записать в другой файл все эти числа в отсортированном порядке. Как это эффективно сделать?

10) Есть огромный файл в несколько гигабайт, в котором записаны целые числа. Известно, что каждое число встречается два раза, но есть единственное число, которое встречается один раз.

Предложите эффективный алгоритм для поиска этого числа. Как изменится алгоритм, если каждое число будет встречаться в файле чётное число раз, а единственное из них нечётное число раз?

11) Есть огромный файл, в котором записаны все целые числа из диапазона от 1 до 10^9 в произвольном порядке.

То есть в файле есть абсолютно все числа из этого диапазона, и встречаются они лишь по одному разу. Однако одно число встречается два раза.

Задачи на логику собеседование программист

Обмен информации между людьми возможен, но передаваемые друг другу сообщения не должны содержать какую-либо конкретную информацию об уровне зарплат. Как это сделать?

Пусть у нас есть массив положительных чисел, в котором все числа, кроме трех, встречаются по 2 раза, а эти три числа отличны от всех остальных и встречается каждое ровно по одному разу.

Нужно найти эти три числа. Числа помещаются в 32-битный целочисленный тип.

Положим, у нас есть некоторая конечная последовательность чисел и мы имеем итератор, указывающий на первый элемент. Мы можем при помощи итератора посмотреть значение текущего элемента и перейти к следующему элементу.

Задачи на логику собеседование тестировщик

Суть не в правильном ответе, а в том, чтобы увидеть, как кандидат будет использовать воображение. Например, можно предположить, что гладкая текстура получается от сильного воздушного потока. В реальной ситуации драже помещают в специальный вращающийся барабан и поливают глазурью.

#6 Дождь и солнце (напоследок самая легкая задача)

Сейчас два часа ночи. За окном моросит дождь. Насколько велика вероятность того, что через 71 час будет солнечная погода?

Решение. Так как через 71 час также будет ночь, вероятность составит 0%.

Как можно подготовиться?

Прежде всего, практикуйтесь. Зачастую встречаются однотипные задачи, а значит, чем больше задач вы уже решали, тем быстрее справитесь.

Внимательно слушайте задание.

Задачи на логику собеседование яндекс

Как можно узнать количество дней в месяце, зная его номер? Другими словами, опишите, как получить функцию f(x), которая бы давала следующий список значений:


В качестве аргумента мы получаем только номер месяца, т.е. мы не учитываем високосные года, и f(2) = 28.

Задачка для питонистов: нужно перебрать все пары символов в строке, и остановиться при нахождении двух одинаковых символов.

Решение достаточно очевидное, но возникает вопрос:

s = «какая-то строка» for i in range(len(s)): for j in range(i+1, len(s)): if s[i] == s[j]: print(i, j) break # Как выйти сразу из двух циклов?

Если бы мы программировали, например, на Java, то мы могли бы воспользоваться механизмом меток:

outterLoop: for(int i=0; i

О нас

Получите бесплатную юридическую консультацию!

16. Связные списки¶

16.1. Знакомьтесь: связный список¶

Мы уже видели примеры атрибутов, которые ссылаются на другие объекты. Ссылки на объекты использует и широко известная структура данных связный список.

Связные списки состоят из узлов, каждый из которых содержит ссылку на следующий узел в списке. Кроме того, каждый узел содержит какие-то полезные данные.

Связный список относится к рекурсивным структурам данных, поскольку его определение рекурсивно.

Связный список представляет собой либо

  • пустой список, представленный значением None , либо
  • узел, содержащий данные и ссылку на связный список.

Рекурсивные структуры данных могут обрабатываться рекурсивными методами.

16.2. Класс Node ¶

Как обычно при определении нового класса, мы начнем с инициализирующего метода и метода __str__ , обеспечив возможность создания и отображения объектов нового класса:

Параметры инициализирующего метода опциональны. По умолчанию и данные, cargo , и ссылка, next , получают значения None .

Строковым представлением узла будет строковое представление данных этого узла. Поскольку функции str можно передать любое значение, в нашем узле можно хранить любое значение.

Для тестирования создадим объект Node и выведем его на печать:

Чтобы было интереснее, нам нужен список с более чем одним узлом:

Этот код создает три узла, но у нас нет списка, так как ни один узел не связан с другим. Посмотрите на рисунок:

Чтобы связать узлы, нам нужно заставить первый узел ссылаться на второй, а второй — на третий:

Ссылка в третьем узле имеет значение None , что означает конец списка.

Теперь вы знаете, как создавать узлы и связывать их в списки. Но, возможно, пока не понимаете, зачем это нужно.

16.3. Списки как коллекции¶

Списки полезны, поскольку дают возможность собрать многочисленные объекты в единую сущность, иногда называемую коллекцией. В примере выше, первый узел списка может служить ссылкой на весь список.

Чтобы передать связный список в качестве аргумента, достаточно передать ссылку на первый узел. Например, функция print_list принимает один узел в качестве аргумента. Начиная с первого узла списка, она выводит на печать каждый узел, пока не достигнет конца списка:

Вызовем функцию, передав ей ссылку на первый узел:

Хотя у print_list есть ссылка на первый узел списка, внутри функции нет переменных, ссылающихся на другие узлы. Функция получает ссылку на следующий узел, используя значение атрибута next каждого узла.

Чтобы пройти весь связный список, обычно используют переменную цикла вроде node , которая последовательно получает значения, ссылающиеся на узлы списка.

16.4. Списки и рекурсия¶

Многие операции над списком естественно реализовать с помощью рекурсивных методов. Вот рекурсивный алгоритм для вывода на печать списка в обратном порядке:

  1. Разделить список на две части: первый узел (голова) и все остальные (хвост).
  2. Распечатать хвост в обратном порядке.
  3. Распечатать голову.

Разумеется, шаг 2, рекурсивный вызов, предполагает, что у нас имеется способ распечатать список в обратном порядке. Но если мы примем, что рекурсивный вызов работает – нужно в это поверить – то мы можем убедиться в том, что алгоритм работает.

Все, что нам нужно, это простейший случай списка (базовый случай) и доказательство того, что, какой бы список мы ни взяли, наш алгоритм в конце концов приведет нас к этому базовому случаю. Имея рекурсивное определение списка, приведенное выше, в качестве базового случая возьмем пустой список, представленный значением None :

Первая строка обрабатывает базовый случай. Две следующие строки кода разделяют список на head (англ.: голова) и tail (англ.: хвост). Две последние строки кода выводят список на печать. Запятая в конце последней строки удерживает Python от перевода строки после печати каждого узла.

Вызовем функцию так же, как вызывали print_list :

В результате на печать выведен список в обратном порядке.

Возможно, вы недоумеваете, почему print_list и print_backward являются функциями, а не методами класса Node . Причина в том, что мы используем None для представления пустого списка, а вызвать метод для None нельзя. Это ограничение не позволяет написать чистый объектно-ориентированный код для манипулирования списком.

Но можем ли мы доказать, что print_backward всегда завершится? Другими словами, всегда ли алгоритм приведет нас к базовому случаю? На самом деле, ответ отрицательный. Некоторые списки сломают наш метод.

16.5. Бесконечные списки¶

Нет ничего, что помешало бы некоторому узлу ссылаться на узел, который идет в списке раньше этого узла, или ссылаться на самого себя. Например, этот рисунок показывает список с двумя узлами, один из которых ссылается на себя!

Если вызвать print_list с этим списком, функция зациклится. Если вызвать print_backward , возникнет бесконечная рекурсия. Таким образом, работа с бесконечными списками сопряжена с определенными сложностями.

Тем не менее, иногда бесконечные списки полезны. Например, можно представить число как список цифр, и воспользоваться бесконечным списком для представления дробного периода этого числа.

И все же тот факт, что мы не можем доказать, что print_list и print_backward завершатся, представляет проблему. Лучшее, что мы можем сделать, это выдвинуть гипотезу: Если список не содержит циклов, то эти методы завершатся. Такого рода утверждения называются предусловием. Предусловие налагает ограничение на параметры и описывает поведение функции в случае, когда это ограничение выполняется. Вскоре мы встретимся с другими примерами предусловий.

16.6. Неоднозначность ссылки на узел списка¶


Следующий фрагмент print_backward может вызвать удивление:

После выполнения первого предложения присваивания head и list имеют один и тот же тип и одно и то же значение. В таком случае, зачем мы создаем новую переменную?

Причина в том, что эти две переменные играют разные роли. Мы думаем о head как о ссылке на один узел, а о list – как о ссылке на первый узел списка. Эти роли не являются частью программы; они существуют в уме программиста.

В общем случае, глядя на код программы, мы не можем сказать, какую роль играет та или иная переменная. Эта неоднозначность может быть полезной, но также может затруднить чтение программы. Часто, чтобы подчеркнуть роль, которую играет переменная, мы используем переменные с “говорящими” именами, например, node и list , а иногда создаем дополнительные переменные с этой целью.

Можно переписать print_backward без переменных head и tail , что сделает функцию более компактной, но менее ясной:

Глядя на два вызова функции, нужно помнить, что print_backward рассматривает свой аргумент как коллекцию, а print – как единичный объект.

Если же взять ссылку на узел связного списка вне контекста, то ее семантика неоднозначна. Ссылка на узел связного списка может рассматриваться как ссылка на один узел или как ссылка на список.

16.7. Изменение списков¶

Можно изменить список двумя способами. Очевидно, что мы можем изменить данные одного из узлов. Но более интересны операции по добавлению, удалению и перестановке узлов.

В качестве примера давайте напишем функцию, которая удаляет второй узел из списка и возвращает ссылку на удаленный узел:

Здесь мы вновь используем временные переменные для того, чтобы сделать код яснее. Воспользуемся этой функцией:

Следующий рисунок иллюстрирует результат работы функции remove_second :

А что случится, если вызвать эту функцию со списком из одного элемента? С пустым списком? Существует ли предусловие для этой функции? Если да, то добавьте в функцию проверку предусловия и обработку его нарушения.

16.8. Обертки и помощники¶

Если нам понадобится вывести связный список в обратном порядке, заключенный в квадратные скобки, то, как вариант, мы можем воспользоваться функцией print_backward чтобы вывести 3 2 1 , и отдельно вывести открывающую и закрывающую скобки. Назовем новую функцию print_backward_nicely :

В любом месте программы можно вызвать функцию print_backward_nicely , а она, в свою очередь, вызовет print_backward . Здесь print_backward_nicely работает как обертка, используя функцию print_backward в качестве помощника.

16.9. Класс LinkedList ¶

У нашей реализации связных списков есть одна проблема, неочевидная на первый взгляд. Поменяв местами причину и следствие, предложим вначале альтернативную реализацию, а затем рассмотрим, какую проблему она решает.

Создадим новый класс LinkedList . Его атрибутами будут целое число, представляющее длину списка, и ссылка на первый узел списка. С помощью объектов LinkedList удобно манипулировать списками объектов Node :

Класс LinkedList оказывается удобным местом для помещения в него таких функций, как print_backward_nicely , и превращения их в методы этого класса:

Мы переименовали print_backward_nicely , и теперь у нас два метода с именами print_backward : один в классе Node (помощник), и один в классе LinkedList (обертка). Когда метод-обертка вызывает self.head.print_backward , он вызывает метод-помощник, поскольку self.head ссылается на объект Node .

Еще один плюс класса LinkedList состоит в том, что он облегчает добавление и удаление первого элемента списка. Например, следующий метод add_first класса LinkedList принимает в качестве аргумента данные для узла и помещает новый узел с этими данными в начало списка:

Создадим связный список, добавим в него три узла и выведем его на печать в обратном порядке:

Поскольку каждый раз новый узел добавляется в начало списка, то последовательно добавленные нами узлы со значениями 1 , 2 , 3 расположились в обратном порядке, и метод print_backward вывел узлы в порядке их добавления.

В качестве упражнений вам будет предложено добавить другие полезные методы в класс LinkedList и поэкспериментировать с ними.

16.10. Инварианты¶

Некоторые списки построены правильно; другие нет. Например, если список содержит цикл, он сломает многие из наших методов. Поэтому мы можем потребовать, чтобы списки не содержали циклов. Другое разумное требование состоит в том, чтобы значение length в объекте LinkedList всегда равнялось реальному числу узлов в списке.

Требования, подобные этим, называются инвариантами, поскольку, в идеале, они должны выполняться для каждого объекта в любой момент времени. Указание инвариантов для объектов — полезный прием программирования. Он облегчает доказательство корректности кода, проверку целостности структур данных, и способствует обнаружению ошибок.

Заметим, что в отдельные моменты времени инварианты все же не выполняются. Например, в середине метода addFirst , после того, как мы добавили узел, но перед тем, как мы увеличили length , инвариант оказывается нарушенным. Такого рода нарушение приемлемо; действительно, часто невозможно изменить объект, не нарушая инвариант хотя бы ненадолго. Достаточно потребовать, чтобы метод, который нарушает инвариант, восстанавливал его.

Если имеется значительный участок кода, в котором инвариант нарушен, важно отразить это в комментариях. Чтобы операции, зависящие от инварианта, не выполнялись, пока инвариант не восстановлен.

Кодирование деревьев

Выделим в дереве какую-нибудь одну вершину, которую назовем корнем. Полученное дерево с выделенной вершиной называется корневым.

Для задания (с точностью до изоморфизма) корневых деревьев используют код из 0 и 1, который мы определим индуктивно.

Определение. Кодом корневого дерева с одним ребром является . Пусть деревья и с корнями a и b соответственно (см. рис.) имеют коды и . Тогда кодом дерева с корнем с является код , а кодом дерева с корнем — код .

Пример 1.Написать код дерева, изображенного на рисунке.

Итак, код дерева — .

Справедливо следующее утверждение: для того, чтобы последовательность нулей и единиц являлась кодом некоторого дерева необходимо и достаточно, чтобы число нулей и единиц в этой последовательности было одинаковым, причем в любом начальном отрезке последовательности количество нулей было не меньше количества единиц.

Чтобы построить корневое дерево по коду из нулей и единиц, нужно разбить последовательность на пары 0 и 1, следуя правилу: первая попавшаяся в коде единица образует пару с предшествующим нулем; каждая следующая единица образует пару с ближайшим слева неиспользованным нулем. Если образованные таким образом пары пометить снизу кода фигурными скобками, то каждая такая скобка будет соответствовать ребру графа.

Пример 2. Построить дерево по коду .

Для задания помеченных деревьев, т.е. деревьев, вершины которых занумерованы, используют код из натуральных чисел.

Пусть дано помеченное дерево. Чтобы построить его код из натуральных чисел действуем следующим образом. Находим висячую вершину с наименьшим номером. Записываем номер смежной с ней вершины (это начало кода), после чего удаляем эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Для полученного в результате данной операции дерева находим висячую вершину с наименьшим номером, записываем номер смежной с ней вершины (это продолжение кода), после чего удаляем эту висячую вершину вместе с инцидентным ей ребром. Так поступаем до тех пор, пока не останется последнее ребро.

Заметим, что длина кода из натуральных чисел на единицу меньше числа ребер и на две единицы меньше числа вершин данного дерева.

Пример 3.На рисунке изображено помеченное дерево. Его код .

Построение дерева по коду из натуральных чисел рассмотрим на примере кода . Прежде всего, заметим, что дерево, которое нам предстоит построить, имеет 8 вершин.

Будем преобразовывать последовательность 224466, действуя по следующей схеме. Вместо первого числа запишем наименьшее натуральное число, которое в этой последовательности не встречается, т.е. 1; получим последовательность 124466. Вместо второго числа в новой последовательности запишем наименьшее, не встречающееся в ней, т.е. 3; получим последовательность 134466, и т.д. Действуем так до тех пор, пока все числа в исходной последовательности не будут заменены. Расположим все последовательности друг под другом; под последней из них запишем код дерева. Выпишем пары вершин, записанные друг под другом в последних двух строчках: (12), (32), (24), (54), (46), (76). Каждая такая пара — это пара концов одного из ребер дерева. Этот список дополняем парой вершин, отсутствующих в предпоследней строчке, т.е. парой (6,8). Теперь строим дерево: отмечаем на плоскости точки – вершины дерева и соединяем их ребрами согласно списку (см. рисунок к примеру 3).

3.11. Остовы графа. Построение минимального остова

Напомним, что подграф графа , называется остовным подграфом, если .

Определение. Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть — обыкновенный граф. Упорядочим множество его вершин . Определим матрицу Кирхгофа графа , полагая:

где — матрица смежности графа, отвечающая данному упорядочению вершин.

Можно показать, что матрицы Кирхгофа обладают следующим свойством: алгебраические дополнения всех элементов любой из матриц Кирхгофа графа равны между собой.


Утверждение. Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента его матрицы Кирхгофа.

Доказательство этого утверждения опустим.

Определение. Взвешенным графом будем называть совокупность объектов ,где тройка — граф и — отображение, называемое весовым.

Число называется весом ребра , число — весом графа .

Определение. Остов связноговзвешенного графа назовем минимальным остовом, если для любого остова выполнено неравенство .

Рассмотрим задачу о нахождении минимального остова в связном взвешенном графе.

Теорема (алгоритм Краскала). Пусть — связный взвешенный граф. — последовательность его остовных подграфов, заданная индуктивно следующим образом:

1. остовный подграф, множество ребер которого пусто.

2. Пусть — остовный подграф с множеством ребер . Тогда — остовный подграф с множеством ребер , где ребро выбирается из множества так, что выполнены два условия: а) добавление ребра не приводит к образованию циклов; б) из ребер, удовлетворяющих условию а), ребро обладает наименьшим весом.

Тогда последним элементом последовательности является минимальный остов графа .

Доказательство теоремы опустим.

Замечания. 1. Если граф несвязен, то по алгоритму Краскала строится остовный лес.

2. Если граф невзвешен, то, присваивая всем ребрам одинаковые веса, мы можем применить алгоритм Краскала для построения остова (остовного леса).

Пример 1. Построить остов минимального веса графа с множеством вершин ; множеством ребер ; отображением инцидентности , , , , , , , , и весовым отображением , , , , , , , .

Согласно алгоритму Краскала строим последовательность остовных подграфов:

с пустым множеством ребер;

с множеством ребер ;

с множеством ребер ;

с множеством ребер ;

с множеством ребер ;

с множеством ребер .

Добавление к графу любого из оставшихся ребер графа ведет к образованию цикла. Таким образом, подграф c множеством ребер , — минимальный остов, вес которого равен .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8805 — | 7520 — или читать все.

188.64.174.135 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Удалить из левой ветви дерева узел с максимальным значением ключа и все связанные с ним узлы

Создание и обработка структур типа «дерево»
Разработать проект для обработки дерева поиска, каждый элемент которого содержит целочисленный ключ и строку текста, содержащую, например, ФИО и номер паспорта (ввод исходной информации рекомендуется записать в файл). В программе должны быть реализованы следующие возможности:
– создание дерева;
– добавление новой записи;
– поиск информации по заданному ключу;
– удаление информации с заданным ключом;
– вывод информации;
– решение индивидуального задания;
– освобождение памяти при выходе из программы.

задача: Удалить из левой ветви дерева узел с максимальным значением ключа и все связанные с ним узлы.

Решение задачи сделано. Может через запись на диск проще доделать программу?

09.07.2020, 19:15

Дерево: Как правильно удалить все узлы дерева?
Как правильно удалить все узлы дерева?

Удалить из дерева все узлы, в текстах которых заданное слово, и указать количество удалений
Доброго времени суток. Помогите, пожалуйста, с деревом 😥 1) поля записей (структуры): .

Удалить из последовательности все члены с максимальным значением
Даны целые числа а 1,а 2. ,а N .Удалить из последовательности все члены со значением.

Если все элементы массива различны, удалить элемент с максимальным значением
Дан произвольный массив. Если все его элементы различны удалить элемент с максимальным значением. .

В неупорядоченном списке поменять местами элементы с минимальным и максимальным значением ключа
Всем доброго времени суток) Столкнулся с проблемой. что я не могу поменять местами максимальный и.

Python алгоритмы

Блог про алгоритмы и все что с ними связано. Основной инструмент реализации — Python.

суббота, 27 августа 2011 г.

Связные списки

В информатике, свя́зный спи́сок — структура данных, состоящая из узлов, каждый из которых содержит как собственные данные, так и одну или две ссылки («связки») на следующий и/или предыдущий узел списка. Принципиальным преимуществом перед массивом является структурная гибкость: порядок элементов связного списка может не совпадать с порядком расположения элементов данных в памяти компьютера, а порядок обхода списка всегда явно задаётся его внутренними связями.

В одной из статей Sython’а (Cвойство замыкания, на примере list) мы уже создавали похожую структуру, методами функционального программирования. Пришло время задействовать ООП!)

История связных списков
Основной принцип связных списков крайне прост: эта структура данных состоит из последовательности записей, в которой каждая запись хранит помимо самих данных еще и ссылку на следующую запись в этой последовательности. На рисунке 1 изображен связный список из трех записей, каждая запись которого состоит из поля данных — целого числа и ссылки на следующую запись.

Рисунок 1. Пример связного списка

У последней записи на рисунке отсутствует ссылка, но она есть и указывает на NULL. На основе списков можно реализовать структуры данных, такие как стеки, очереди и ассоциативные массивы.
Ранее уже упоминалось, что в массиве все элементы расположены в памяти по порядку, а в списке они в памяти никак не упорядочены. Более того, элемент может быть добавлен в любую позицию в списке. Однако сама операция по вставке элемента в список требует дополнительных ресурсов, так как нужно последовательно просканировать список для поиска нужной позиции.

Основные правила реализации связных списков
Список состоит из элементов, называемых узлами (node). Первый узел списка называется «головным» (head), а последний — «хвостовым» (tail). На рисунке 2 изображен двойной связный список.

Рисунок 2. Двойной связный список

Каждый элемент состоит из 3-х полей, два из которых являются указателями на предыдущий или следующий узел. Элемент может указывать и более чем на два узла, и в этом случае список называется многосвязным.
Помимо упоминавшихся ранее стандартных массивов существуют еще динамические массивы. Размер обычного массива является фиксированной величиной, а в динамический массив можно добавлять или удалять из него элементы. Если элемент добавляется в середину динамического массива, то происходит перераспределение элементов, находящихся справа от него, так как все элементы массива должны быть расположены в памяти строго по порядку. Поэтому вставка элемента в динамический массив требует дополнительных ресурсов, если элемент добавляется не в конец массива. Преимущество связного списка в том, что не требуется перестраивать последовательность узлов, независимо от того, в какую позицию списка вставляется новый элемент. Недостаток связных списков – это последовательный доступ (sequential access) к элементам, тогда как для массивов время доступа постоянно и не зависит от размера — random access. Если приложению требуется быстрый поиск элемента по индексу, то в данном случае списки не подходят, и лучше воспользоваться массивами.
Еще один негативный момент при использовании связных списков связан с нерациональным использованием памяти. Если в узле хранится небольшая порция данных, например, булевское значение, то список становится неэффективными из-за того, что объем памяти, выделяемой под хранение связей, превышает объем памяти, выделяемой под хранение «полезной нагрузки».

Связный список — это рекурсивная структура, так как узел всегда содержит указатель на следующий узел. Это позволяет использовать простой рекурсивный алгоритм для таких операций, как объединение двух списков или изменение порядка элементов на обратный. У односвязных списков есть важное преимущество: если к вершине такого списка добавляется новый элемент, то старый список будет по прежнему доступен по ссылке на только что добавленный узел. Этот прием называется persistent data structure (постоянное хранение данных). У двусвязных списков есть свои преимущества, так как они позволяют выполнять итерацию в обоих направлениях, в отличие от односвязных списков.
Если последний элемент будет указывать на первый элемент списка, то такая структура называется циклическим замкнутым (или кольцевым (circular)) списком. Кольцевые списки можно использовать для списка процессов, в которых применяется «карусельный» (round-robin) алгоритм. Для такого списка достаточно иметь один указатель, который одновременно указывает и на конец, и на начало очереди. Кольцевой список можно разбить на два кольцевых списка или, наоборот, объединить.

Рисунок 3. Кольцевой связный список

Полезно почитать введение, данное в 1-й части цикла
Работа со структурами данных в языках Си и Python: Часть 1. Самое главное, на мой взгляд, написано в конце статьи, а именно:

Преимущества:

  1. Удаление элементов в таком списке более эффективно, нежели удаление элементов из стандартного списка Python, который рассматривался в предыдущем разделе. Так как этот элемент удаляется из середины стандартного списка, то время, необходимое на эту операцию, будет зависеть от нескольких факторов: размера списка, положения удаляемого элемента относительно конца. Чем больше размер списка, тем медленнее будет происходить данная операция. В данном случае со ссылочной организацией списка удаление будет происходить одинаково быстро, независимо от размера списка и относительного положения элемента, так как потребуется всего лишь перевести ссылку в предыдущем элементе на следующий за удаляемым элемент.
  2. То же самое можно сказать и про вставку элементов — она выполняется так же эффективно, как и удаление.
  3. Объединение или разбиение 2-х списков будет выполняться быстрее, нежели в стандартном варианте.
  4. Преимуществом связных списков является и то, что элемент такого списка может иметь произвольную структуру, и включать не одну, а сразу несколько ссылок, что является отличительной особенностью деревьев.

Недостатки:

  1. Требуется выделять дополнительную память на ссылки, которые сами по себе не несут никакой полезной информации.
  2. Доступ к произвольному элементу для стандартного массива в Си и для стандартного списка в Python есть величина постоянная и не зависящая от величины массива. В случае со ссылочными списками время доступа будет зависеть от величины списка, так как потребуется выполнить итерацию по всему списку.

И в той же статье, еще раз обратите внимание на всем известные, но не теряющие интереса особенности Python’а в отношении ссылок!


Итак, приступим к кодингу)

Для определения связного списка потребуется еще один класс – LinkedList, в конструкторе которого будут определяться первый и последний элементы списка и его длина. Также в классе будут использоваться встроенный метод str для распечатки содержимого списка и метод clear для очистки списка.

Добавление элементов в конец списка.
Может я чего накрутил, но во первых я не понял, зачем была нужна секция «elif» и вообще я её немного упростил)

Теперь мы можем добавить несколько эл-тов и даже распечатать наш список!)

А не научиться ли нам вставлять эл-ты в начало списка?)
В реализации нужно учитывать два варианта: в первом случае список пуст, а во втором создается новый узел, в конструктор которого в качестве второго параметра передается головной элемент списка. Комментарии по коду, те же, что и в предыдущем листинге.

Давайте усложним себе задачу и вставим новый элемент в место, куда хотим!)
Я посмел чуточку исправить код, чтобы он заработал, а так все как и там. Необходимо сначала проверить, что список не пуст, а затем, что вставка не происходит на нулевую позицию. Если оба условия не выполняются, то происходит итерация по списку до нужной позиции и добавление элемента:

Научились добавлять, пора всех их посчитать!)
Я не очень понял, зачем в статье для этого пишется отдельная функция, видимо, чтобы просто поиграть извилинами. Раз уж используем ООП, то просто при добавлении инкриментируем встроенную переменную length, а при удалении дикрементируем, ну или как там?) Что я собственно и сделаю, тогда длина списка всегда будет статична и не нужно будет бегать по списку для её нахождения, хотя это и увеличит добавление и удаление элементов на несколько процессор-итераций.) Но все же приведу ту ф-цию! Для определения длины списка в используется функция len, которая вначале проверяет, не является ли список пустым, а затем выполняет итерацию по элементам списка.

Удаление головного элемента
В реализации потребуется проверить список на пустоту и объявить две локальных переменных: первая будет хранить текущий элемент, а вторая — предыдущий. Потом выполняется итерация по списку для поиска удаляемого элемента и проверка того, не является ли он последним в списке. Если удаляемый элемент является последним, то предыдущий узел становится последним, в противном случае предыдущий узел связывается со следующим узлом вместо текущего.

Вставка элемента в отсортированный список
В данной реализации выполняется проверка списка на пустоту, а затем выполняется итерация с помощью двух временных переменных, как и в прошлом листинге.

Удаление повторяющихся значений
Сначала напишем данную функцию для общего случая. Она будет проходить по всему списку от начала, до конца, для каждого элемента. Это приблизительно N 2 /2 проходов!

Но куда более оптимальнее проводить данную операция для уже отсортированного списка, т.к. это экономит нам много итераций по списку(т.к. не нужно проходить весь список). Если в ходе итерации текущий элемент оказывается равным следующему за ним, то текущий элемент удаляется.

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m ( ) из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k


Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Логические задачи на собеседовании аналитика

Например, вы сидите в офисе, а диск вращается в закрытой лаборатории. Единственная возможность определить направление вращения — использовать оцифрованные показания датчика, и ничего больше.

Датчик фиксирует цвет точки в непосредственном месте установки в последовательные моменты времени. Показания представляются в виде «ЧЧЧББ…». Задача сводится к такой раскраске диска, где последовательность показаний отличается при вращении в прямую и в противоположную стороны.

У вас есть исходный код приложения на языке С, которое аварийно завершается после запуска. После десяти запусков в отладчике вы обнаруживаете, что каждый раз программа падает в разных местах. Приложение однопоточное и использует только стандартную библиотеку С.

Логические задачи на собеседовании аналитик

Порядок не важен.

Достаточно ли будет линейного времени? Сколько памяти понадобится для решения?

Смоделируйте использование игральной кости с семью гранями, если в вашем распоряжении имеется только кость с пятью гранями.

Иными словами, как получить случайное число в диапазоне от 1 до 7, используя генератор случайных целых чисел от 1 до 5?

Напишите код, разбивающий связный список вокруг некоторого значения так, чтобы все меньшие узлы оказались перед узлами, большими или равными этому значению.

Напишите метод, генерирующий случайную последовательность m целых чисел из массива размером n. Все элементы выбираются с одинаковой вероятностью.

Первое, что приходит в голову, — выбрать случайные элементы из массива и поместить их в новый массив.

Предлагаем вам несколько таких задач, а также рассказ об общих методах их решения и конкретные советы для собеседований.

Сколько флаконов шампуня производится в мире за год? Ответ

Сколько насечек на ребре четвертака — монеты в 25 центов? Ответ

Сколько будет 2 в 64 степени? Ответ

Сколько туалетной бумаги потребуется, чтобы покрыть ею весь штат? Ответ

Сколько атомов резины стираются с шины автомобильного колеса при каждом его обороте? Ответ

Cколько денег понадобится на мытье всех окон в Сиэтле? Ответ

Также смотрите примеры других задач для самостоятельного решения.

Задача, которую давали на собеседованиях в Apple. От вас требуется написать функцию, которая возвращает максимальную прибыль от одной сделки с одной акцией (сначала покупка, потом продажа).

Логические задачи на собеседовании аналитика

Учитывая то, что верёвка горит один час, мы делаем вывод, что её подожгли с одного из концов. Поэтому, если поджечь оба конца, она прогорит за полчаса, пусть и гореть будет неравномерно. Далее мы можем сравнить: поджигаем одну из верёвок с двух краёв, а другую – только с одного края, чтобы засечь время.
Первая сгорит за полчаса. Как только она сгорела, мы сразу же должны потушить вторую. Так у нас остаётся кусок второй верёвки, который сгорит за полчаса.

Каковы верхние и нижние границы доли людей, которые одновременно любят кофе и чай?

Задачка, которую нужно решать без калькулятора и компьютера, имея под рукой только карандаш и бумагу. Сколько нулей в конце факториала 100?

Предложите алгоритм нахождения самой большой суммы непрерывной последовательности из массива целых чисел, как положительных, так и отрицательных.

Напишите программу расчета значения медианы в потоке чисел, динамически отслеживающую новые поступающие числа, получаемые рандомом.

Идет дождь, а вам надо добраться до вашей машины, которая стоит в самом дальнем конце парковки.

Ответ автора с обзором вариантов ответов подписчиков

Как это вычислить, не пользуясь калькулятором? Можете дать приблизительный ответ?

«Вас уменьшили до размеров 5-центовой монеты и бросили в блендер. Ваш вес уменьшился так, что плотность вашего тела осталась прежней. Лезвия начнут вращаться через 60 секунд. Ваши действия?»

Это классическая google-задачка, хороший разбор которой в рунете не так-то просто найти.

Разбор вариантов ответа

Транспортер автоматически регулирует свою скорость таким образом, чтобы самолет оставался неподвижным. Вопрос: сможет ли самолет в таких условиях взлететь?Здесь нужно отметить, что при ближайшем рассмотрении условие задачи оказывается некорректным. Во-первых, шасси вращаются с угловой скоростью, а лента с линейной, поэтому их сравнение некорректно.
Во-вторых, если принять, что угловая скорость колес транспортера равна угловой скорости колес самолета и их диаметры равны, то задача сводится к неподвижному относительно земли самолету. Но будем исходить из того, что транспортер просто движется так, чтобы не дать едущему по транспортеру самолету перемещаться относительно земли. Конечно, с точки зрения физики задача не совсем корректна и по другим причинам, но можно попробовать решить ее эмпирически.

Как же нам теперь порезать их все пополам? Для этого просто берём и ставим четыре куска друг на друга, и затем режем пополам и получаем восемь кусков – это только один вариант. Второй вариант заключается в том, что мы разрезаем торт не как обычно, а в горизонтальной плоскости, т.е. поперёк. Немного странными получатся в итоге куски, но вариант всё-таки хорош, согласитесь?

Хотите научиться решать такие задачи? Сегодня курс «Когнитивистика» со скидкой 20%! Промокод — SOBES.

Надеемся, эта информация вам пригодится, и вы сможете удивить своих потенциальных работодателей на собеседовании.

Ну, и чтобы не расслабляться, вот вам напоследок ещё одна интересная задачка, но уже без решения: посреди пшеничного поля был найден мёртвый мужчина, который крепко сжимает в руках спичку.

Тогда человек с темными волосами женщиной быть не может. Так и получается, что единственный верный вариант — они лгут оба.

Бросьте его вверх!

Нисколько. Там — только переплёты.

Да, такое место есть. Это южный географический полюс. В какую бы сторону от него вы не шли, направление будет только одно — на север, ведь вокруг него везде север.

Ваша задача — найти начальный узел петли.

Элементы списка менять нельзя, память можно использовать только константную.

На острове существует правило — голубоглазые люди не могут там находиться. Самолет улетает с острова каждый вечер в 20:00. Все жители собираются за круглым столом ежедневно, каждый человек может видеть цвет глаз других людей, но не знает цвет собственных. Никто не имеет права сказать человеку, какой у него цвет глаз.
На острове находится не менее одного голубоглазого человека. Сколько дней потребуется, чтобы все голубоглазые уехали?

Напишите код, удаляющий дубликаты из несортированного связного списка. Можно использовать только константную память.

Напишите метод, тасующий карточную колоду. Колода должна быть идеально перемешана т.е. перестановки карт должны быть равновероятными.

Добавить комментарий