Методы, реализующие операции умножения, вычитания и деления целых чисел, используя только оператор


Оглавление (нажмите, чтобы открыть):

Арифметические операции

Основы программирования
Каждый профессионал когда-то был чайником. Наверняка вам знакомо состояние, когда “не знаешь как начать думать, чтобы до такого додуматься”. Наверняка вы сталкивались с ситуацией, когда вы просто не знаете, с чего начать. Эта книга ориентирована как раз на таких людей, кто хотел бы стать программистом, но совершенно не знает, как начать этот путь. Подробнее.

Мы уже более-менее разобрались с выражениями, операторами и операциями. Теперь будем изучать операции более конкретно. И начнём с самых простых и с самых распространённых. А это, в первую очередь, арифметические операции.

Понятно, что арифметические операции используются для соответствующих вычислений. Каждой арифметической операции соответствует свой оператор. Вычисления можно выполнять с целыми и вещественными числами. Однако есть нюансы, о которых мы будем говорить позже. А пока перечислим операторы, которые используются для выполнения арифметических операций.

Таблица 15.1. Бинарные арифметические операторы.

Оператор Операция Типы данных
+ Сложение Целые, вещественные
Вычитание Целые, вещественные
* Умножение Целые, вещественные
/ Деление Вещественные
div Целое деление Целые
mod Остаток Целые

Как вы догадались, операторы div и mod нельзя использовать с вещественными числами. А оператор / нельзя использовать с целыми числами. Впрочем, это относится только к языку Паскаль. В других языках, например в С++, таких ограничений нет. С одной стороны это хорошо, но с другой — может привести к труднонаходимым ошибкам.

Арифметические операторы используются в программах примерно так:

Операторы +, , * и / вам знакомы из математики. Поэтому рассказывать о них особо нечего. А вот операторы div и mod некоторым могут показаться непонятными. Поэтому остановимся на них более подробно.

Оператор div выполняет целочисленное деление. Его можно использовать только с целыми типами данных. Как он работает?

будет равно 6. Хотя на самом деле 13 / 2 = 6,5. Однако, если вы используете целые типы данных, то число 6,5 вы не сможете получить в результате. Вам придётся либо записывать результат в переменную вещественного типа, либо использовать оператор div и смириться с погрешностью.

Оператор mod определяет остаток от целого деления. Например,

будет равно 1, так как ближайшее целое число, которое можно разделить на 2 — это 12. А 13 — 12 = 1.

ВАЖНО!
При бинарных операциях результат будет целого типа, если ОБА операнда являются выражениями целого типа. Если хотя бы один из операндов является выражением вещественного типа, то и результат будет иметь вещественный тип.

Это означает, что такой код:

Вызовет ошибку во время компиляции.

Кроме бинарных, как вы помните из предыдущего урока, есть ещё и унарные операции.

Таблица 15.2. Унарные операторы.

Оператор Операция Типы данных
+ Тождество Целые, вещественные
Отрицание Целые, вещественные

Используются эти знаки также, как и в математике. Например,

А теперь попробуем применить полученные знания на практике. Напишем программу — простой калькулятор, который будет принимать от пользователя два числа и выполнять над ними три операции: сложение, вычитание и умножение.

Почему код листинга 15.1 приведёт к ошибке во время компиляции? Исправьте код таким образом, чтобы программа откомпилировалась без ошибок. Повторите программу из листинга 15.2. Подумайте, как можно её усовершенствовать.

Реализация вычитания сумматором

Содержание

Преобразование чисел для вычитания сумматором [ править ]

Чтобы реализовать вычитание каскадным или двоичным каскадным сумматором, нужно сложить на нём уменьшаемое с противоположным по знаку вычитаемым, так же как и при вычитании обычных чисел. Тогда полученная сумма будет разностью данных чисел: [math] x — y = x + (-y)[/math] .

Инверсия знака записанного в двоичном виде числа происходит точно так же, как и в дополнительном коде.

Данное число нужно инвертировать и прибавить к нему единицу: [math] -y = (\lnot y) + 1 [/math] .

Например, число [math] \large — 19[/math] будет записано как [math] \large 01101 [/math] , так как [math] \large 19_\mathrm <10>= 10011_\mathrm<2>[/math] , а [math] \large (\lnot 10011) + 1 = 01100 + 1 = 01101 [/math]

Оптимизация [ править ]

Очевидно, что реализация преобразования в дополнительный код отдельным сумматором делает вычисление разности в два раза медленнее, чем вычисление суммы. Чтобы ускорить вычисления нужно воспользоваться первым битом переноса в сумматоре: для реализации суммы в него посылают ноль, а для реализации вычитания посылать в него единицу при вычитании и ноль при суммировании. Вместо того, чтобы инвертировать вычитаемое число, можно делать XOR бита первого переноса с каждым битом вычитаемого числа. Таким образом, полученная схема будет работать как для суммирования, так и для вычитания, и при этом вычитание не требует больше времени, чем сложение.

Алгоритм умножения чисел методом сдвига [закрыт]

Как перемножить целые числа используя операцию битового сдвига и операцию сложения?

Закрыт по причине того, что непонятна суть вопроса участниками Kromster says support Monica, torokhkun, Vladimir Glinskikh, korytoff, BogolyubskiyAlexey 3 дек ’15 в 11:53 .

Постарайтесь писать более развёрнутые вопросы. Для получения ответа поясните, в чём именно вы видите проблему, как её воспроизвести, что вы хотите получить в результате и т. д. Приведите пример, наглядно демонстрирующий проблему. Если вопрос можно переформулировать согласно правилам, изложенным в справке, отредактируйте его.

2 ответа 2

Предположим, надо умножить число a на константу 13.

Двоичное представление 13 = 8 + 4 + 1 = 11012.

Если пронумеровать биты справа налево (от младших к старшим) начиная с нуля, получится, что установлены биты 0 (самый правый), 2 и 3.

Или, в более привычной форме:

Обычно такие оптимизации при умножении на константу производит компилятор (это одна из самых старых оптимизаций). Для того, чтобы умножить на любое целое число, можно сдвигать это число вправо на 1 бит, и тестировать самый младший бит:

Здесь на каждой итерации a умножается на 2, а b нацело делится на 2. Условие b & 0x1 == 0x1 проверяет, установлен ли младший бит у текущего значения b — фактически, является ли b нечётным числом.

Чтобы стало понятно, что здесь происходит, можно подставить знакомое нам число 13 вместо b .

  1. 13 & 1 равно 1, поскольку 13 нечётное число. Значит, 0-й бит установлен. Прибавляем оригинальное значение a .
  2. 13/2 = 6 в случае целочисленного деления. Увеличиваем a в два раза.
  3. 6 & 1 равно 0 — 6 чётное число. Значит, 1-й бит сброшен. Не прибавляем удвоенное значение a .
  4. 6/2 = 3 . Увеличиваем a ещё в два раза.
  5. 3 & 1 равно 1, так как 3 нечётное число. Значит, 2-й бит установлен. Прибавляем учетверённое значение a .
  6. 3/2 = 1 при делении нацело. Увеличиваем a в два раза.
  7. 1 & 1 равно 1, так как 1 нечётное число. 3-й бит установлен. Прибавляем увосьмерённое значение a .
  8. 1/2 = 0 при делении нацело. Получив 0, заканчиваем алгоритм.


Битовые операции, выполняются намного быстрее умножения и деления, поэтому теоретически это умножение производится быстро. Однако на практике низкоуровневое умножение реализованное в микропроцессоре, выполняется гораздо быстрее, может быть даже на порядок или два.

Поэтому практического смысла такой код наверное не имеет.

Сложение и вычитание целых чисел

В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел, а также правила для их сложения и вычитания.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

Положительные числа легко складываются и вычитаются, умножаются и делятся. К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел расстраивают обучающихся больше всего.

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть ответ будет положительным:

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:


3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Мастер Йода рекомендует:  Подборки — Страница 3 из 4 для программистов

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) в ычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

Заменим вычитание сложением:

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Приведём выражение к понятному виду:

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.


Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

= −( |−3| + |−5| + |−7| + |−9| ) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая порядок действий, выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание. Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее и перед полученным ответом поставить минус.

Вычесть одно число из другого означает, прибавить к уменьшаемому такое число, которое противоположно вычитаемому.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Математические операции в C++ — урок 4

Доброго времени суток! Тема математических операций является неотъемлемой частью любого языка программирования. А поскольку мы уже успели познакомится с переменными в C++, то самое время поподробнее узнать об использовании математических операторах.

Содержание статьи:

Теперь давайте по порядку рассмотрим каждый математический оператор.

Сложение

Сложение в C++ реализовано абсолютно также как и в математике. Собственно, если мы хотим сложить два числа или переменные, то мы должны между ними поставить знак плюс (+):

Операцию сложения можно выполнять практически со всеми типами в С++.

Вычитание

Для вычитания в C++ используется тот же принцип, что и для сложения. Мы просто указываем два числа или переменные, а между ними знак минус (-):

Операцию вычитания, также как и сложения, можно использовать почти всеми типами в C++.

Также у оператора вычитания есть еще одна возможность: если мы перед переменной или числом поставим минус, то данное число или переменная поменяет свой знак на противоположный (минус на плюс, а с плюса на минус):

Тоже самое можно сделать и с плюсом, но он совершенно ничего не меняет (проверьте сами).

Умножение


Если мы хотим умножить переменные или числа, то мы должны между ними поставить знак звездочки (*). Он имеет больший приоритет, нежели сложение или вычитание (только если это не унарный оператор минус, который указывается перед числом):

Как видите вначале выполняется умножение, а только потом сложение (или вычитание). Также, как и в математике, мы можем группировать несколько действий с помощью скобок:

Скобки можно применять с любыми операторами в C++.

Деление

Если вы хотите разделить число, то вам нужно воспользоваться слешем (/). Вот пример его использования:

Приоритет у операции деления такой же, как и у умножения.

Но будьте осторожны при делении числа целого типа. Если оно не будет делится нацело, то C++ возьмет только целую часть и полностью отбросит дробную. Если вы хотите сохранить точность, то пользуйтесь типом float или double :

Как видите, теперь дробная часть никуда не денется от нас �� .

Остаток от деления

Если же вы хотите узнать, делится ли число нацело на другое, то вам нужно узнать остаток от деления. В C++ для выполнения этой операции используется знак процента (%). Если остаток от деления будет равен нулю, то число A нацело делится на число B:

Оператор остатка от деления имеет такой же приоритет, как и операции умножения и деления.

Вот мы и рассмотрели математические операции в C++. Поскольку мы полностью рассмотрели данную тему, я вам рекомендую пройти небольшой тест. Тем самым вы сможете протестировать свои знания.

Целочисленное деление с использованием только сложения, умножения, вычитания и максимума

Предположим, что у нас есть язык программирования ℤ, который имеет следующий синтаксис:

Для удобства мы можем определить новые формы привязки на нашем языке следующим образом:

  1. (not x) = (- 1 x)
  2. (abs x) = (- (max 0 (+ xx)) x)
  3. (min xy) = (- 0 (max (- 0 x) (- 0 y)))
  4. (nil x) = (not (min 1 (abs x)))

Этот язык достаточно мощный, чтобы выражать оператора ветвления и сравнения:

  1. (if xyz) = (+ (* xy) (* (not x) z))
  2. (eq xy) = (nil (- xy))
  3. (ne xy) = (not (eq xy))
  4. (le xy) = (nil (max 0 (- xy)))
  5. (gt xy) = (not (le xy))
  6. (ge xy) = (le yx)
  7. (lt xy) = (not (ge xy))

Теперь вопрос в том, можем ли мы определить целочисленное деление на этот язык:

Я не думаю, что это можно определить (div xy) потому что ℤ не имеет циклов. Однако я не знаю, как это доказать. Обратите внимание, что если это возможно, результат (div x 0) не имеет значения. Следовательно, либо определите (div xy) либо докажите, что это невозможно сделать.

Вызовите функцию f: Z → Z конечном счете многочленом, если существует многочлен p с целыми коэффициентами и порог t такой, что для каждого x > t имеем f(x) = p(x) . Пусть d(x) = [x/2] разделено пополам на два. d не является полиномиальным, так как разностная последовательность d имеет бесконечное число нулей ( f(2y) = y = f(2y+1) для всех y ), тогда как разностная последовательность каждого не постоянного полинома имеет конечное число. Достаточно показать, что все реализуемые функции в конечном итоге полиномиальны.

Доказательство проводится структурной индукцией. 0 и 1 многочлены. Просто показать, что суммы, произведения и различия в конечном счете полиномиальных функций в конечном итоге являются полиномиальными: используйте максимум двух порогов и тот факт, что множество полиномов замкнуто относительно этих операций. Остается только замыкание при max .

Пусть f конечном счете полиномиально через многочлен p , а g конечном счете полиномиально через многочлен q . Если p = q , то, очевидно, x |-> max(f(x), g(x)) в конечном счете, полиномиально через один и тот же многочлен. В противном случае заметим, что p — q имеет конечное число вещественных корней. Установив порог на верхнюю границу корней, заметим, что функция max в конечном итоге полиномиальна через p или q так как другой случай max никогда не запускается здесь.

Методы, реализующие операции умножения, вычитания и деления целых чисел, используя только оператор суммирования

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Мастер Йода рекомендует:  Самые (бес)полезные JavaScript пакеты 7 с половиной NPM модулей, от которых смешно

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа –11 10 вместо обратного кода числа –10 10 ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –10 10 .

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n–1 , где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n–1 = 27 = 128). Например:

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162 10 = 10100010 2 ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых , что является свидетельством переполнения разрядной сетки .

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n–1 . Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых , что свидетельствует о переполнении разрядной сетки .

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:


Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10 .

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

  • на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
  • время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр , называемый накапливающим сумматором , который до начала выполнения операции содержит число ноль . В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений , а по завершении операции — окончательный результат .

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель . Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается , пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011 2 на 101101 2 .

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Методы, реализующие операции умножения, вычитания и деления целых чисел, используя только оператор суммирования

Алгоритмы над целыми числами

В.А.Петров, С.Н. Поздняков

В № 33/99 мы опубликовали объявление о приеме школьников в Заочную школу современного программирования, которую организует журнал “Компьютерные инструменты в образовании”. Надеемся, что материалы этой школы, которые мы планируем публиковать, будут интересны и нашим читателям.

С первого класса учителя “программируют” своих учеников на выполнение алгоритмов с целыми числами. Сначала это алгоритмы “поразрядного” сложения и вычитания, потом алгоритмы умножения “столбиком” и деления “уголком”, потом алгоритмы перевода дробей в десятичную запись и обратно. (Были даже времена, когда ученики выполняли алгоритм извлечения квадратного корня.)

Алгоритмы, которые люди знают с детства, вполне удовлетворяют их при решении бытовых задач, например, определения стоимости покупки или подсчета квартплаты. В то же время вряд ли человек справится с делением 100-значного числа на 50-значное: не очевидно также, что привычный способ записи чисел является лучшим для всех возникающих задач. Тем не менее знания вышеперечисленных алгоритмов уже достаточно, чтобы объяснить несколько важных идей компьютерной математики, которые используются при программировании операций с целыми числами.

Распространенной задачей является такая: определить, делится ли одно число на другое без остатка. Например, делим число 73 963 на 1999. Применяем алгоритм деления “уголком”:

Получаем частное 37 и остаток 0. Делаем заключение о делимости. Если требуется проверка результата, то умножаем частное 37 на делитель 1999 (используя алгоритм умножения “столбиком”) и убеждаемся, что результат равен делимому 73 963.

Теперь нетрудно понять, почему делимость определяется через операцию умножения.

Определение. Говорят, что число а делится на число b (или что а кратно b), если можно подобрать такое число с, чтобы выполнялось равенство а = bс (а, b, с — целые, b № 0).

Одна из часто встречающихся задач состоит в том, чтобы узнать, имеет ли данный набор чисел общий делитель, отличный от 1 (как говорят, нетривиальный делитель, так как 1 является делителем любого набора чисел). Числа, которые не имеют нетривиального общего делителя, называются взаимно простыми.

Обычно сразу ищут наибольший общий делитель (НОД), который делится на все остальные делители и, таким образом, содержит их “в себе”.

Например, набор чисел 72, 84, 132, 144 имеет общие делители 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший общий делитель равен 12 (пишется НОД=12). Он делится на все общие делители.

Некоторые из вас скажут: “Мы решали эту задачу в школе, мы знаем, что делать: нужно разложить каждое из чисел на простые множители”. Но представьте, что число достаточно большое, ну хотя бы больше миллиарда, тогда для разложения его на простые множители вам понадобится таблица первых сотен или тысяч простых чисел, а построение этой таблицы — задача более трудоемкая, чем исходная.

Мы познакомим вас с очень простым и эффективным методом нахождения наибольшего общего делителя.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА С ВЫЧИТАНИЕМ

Идея метода проста. Из набора выбираются любые два ненулевых числа, и большее из них (или любое, если числа равны) заменяется разностью этих чисел. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это число и будет наибольшим общим делителем исходного набора, состоящего из натуральных чисел.

В таблице 1 как пример представлен протокол работы одного из возможных алгоритмов, основанных на методе вычитания, для чисел 72, 84, 132, 144.

Замечание. Когда мы употребляем слово “алгоритм”, мы подразумеваем, что все выполняемые операции определяются однозначно и для любых допустимых входных данных за конечное время порождается результат (выходные данные). Интересно, что, формулируя метод вычитаний, можно было бы сказать “выберем два случайных положительных числа набора”, и тогда благодаря наличию датчиков псевдослучайных чисел в программном обеспечении компьютера метод вычитаний превращается в алгоритм.

Номер шага 1-е число 2-е число 3-е число 4-е число

Сумма чисел

Шаг 1 72 84 132 144 432 Шаг 2 72 84 60 144 360 Шаг 3 72 12 60 144 288 Шаг 4 72 12 60 132 276 Шаг 5 72 12 60 72 216 Шаг 6 72 12 60 144 Шаг 7 12 12 60 84 Шаг 8 12 60 72 Шаг 9 12 48 60 Шаг 10 12 36 48 Шаг 11 12 24 36 Шаг 12 12 12 24 Шаг 13 12 12

Выбирая для вычитания различные пары, можно получить разные алгоритмы. Все эти алгоритмы будут решать поставленную задачу. Для того чтобы в этом убедиться, необходимо обосновать корректность алгоритмов, то есть доказать, что каждый такой алгоритм обязательно закончит свою работу, что полученный в результате работы алгоритма набор будет содержать только одно ненулевое число и что это число будет наибольшим общим делителем исходного набора.

Обоснование корректности алгоритма — очень важный этап для программирования.

Доказать корректность изложенного метода несложно.

1. Для доказательства заметим, что если числа а 1 и а 2 делятся на b, то и их разность делится на b.

Следовательно, указанная операция над набором чисел сохраняет общие делители набора. Аналогично можно доказать, что эта операция не добавляет новых общих делителей. Мы доказали, что на каждом шаге алгоритма множество общих делителей не меняется.

2. Далее заметим, что при указанных преобразованиях числа набора остаются неотрицательными. Действительно, вычитая из положительного числа меньшее (или равное ему), мы получим неотрицательное число. Поэтому операцию вычитания можно осуществлять до тех пор, пока в наборе есть хотя бы два положительных числа.

3. Наконец, процесс изменения набора обязательно закончится, так как после каждого вычитания сумма чисел набора уменьшается. В то же время эта сумма всегда есть положительное целое число, следовательно, процесс не может длиться бесконечно (очевидно, что число шагов не превышает суммы чисел исходного набора).

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

Рассмотрим такой алгоритм для двух положительных целых чисел а и b:

ПОКА а — b і 0
ДЕЛАТЬ заменять а на а — b

Например, для чисел а = 37 и b = 11 результат этого алгоритма а = 4 (последовательные значения a: 37, 26, 15, 4).


Вы наверняка знакомы с другим алгоритмом, дающим такой же результат: алгоритмом деления целых чисел с остатком. Результат работы этого алгоритма можно проверить так: умножить частное на делитель и прибавить остаток. Должно получиться делимое.

Утверждение. Для натуральных а и b (делимого и делителя) единственным образом находятся числа q и r (частное и остаток), обладающие следующими свойствами:

q:=a div b, r:=a mod b.

В дальнейшем мы будем использовать a div b и a mod b для обозначения частного и остатка при делении a на b.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА С ДЕЛЕНИЕМ

Рассмотрим снова задачу о нахождении наибольшего общего делителя набора натуральных чисел. Преобразование набора будем осуществлять по новому правилу: возьмем два ненулевых числа из набора и большее из них (или любое в случае равенства) заменим остатком от деления на меньшее. Далее будем действовать так же, как и в методе вычитаний. Оказывается, с помощью этого метода тоже можно получить НОД исходного набора чисел.

Если чисел в наборе два, то альтернативы выбора пар нет. Тогда оба метода (вычитаний и делений с остатком) однозначно определяют все действия, какими бы ни были исходные положительные целые числа, поэтому для набора из двух чисел эти методы являются алгоритмами.

Интересный смысл имеют частные с 0 , с 1 , . с n , которые получаются в процессе применения алгоритма Евклида к числам а и b. Они являются членами представления числа a/b в форме так называемой цепной дроби:

Число 1 Число 2 Частное
a b c b r c1 . . . . . cn

Алгоритм Евклида относится к числу “быстрых” алгоритмов. На каждом шаге этого алгоритма большее число уменьшается более чем вдвое (например, для чисел <1999; 1000>после первого шага число 1999 будет заменено на 999 (то есть 1999 уменьшится более чем вдвое), если же взять пары <1999; 1001>или <1999, 999>, то после первого шага получим соответственно 998 для первой пары и 1 для второй; как видно, вариации второго числа только уменьшают остаток).

Долгое время алгоритм Евклида был самым эффективным способом отыскания наибольшего общего делителя, однако с появлением электронно-вычислительных машин ситуация изменилась (алгоритм Евклида, как нетрудно понять, появился задолго до вычислительных машин). Учет специфических особенностей выполнения арифметических операций компьютером позволил построить более эффективную (для программной реализации) версию алгоритма Евклида. Действительно, для оценки трудоемкости алгоритма правильно не просто считать общее число операций, но и учитывать время, которое требуется для выполнения этих операций. Так, например, операция умножения включает в качестве промежуточных операций несколько сложений, а операция деления — несколько умножений и вычитаний.

В вычислительных машинах реализована так называемая двоичная арифметика (о ней будет рассказано в следующей статье этой серии). В этой арифметике очень легко умножать и делить числа на 2. Это достигается простым сдвигом цифр (в обычной арифметике простым добавлением и удалением нуля осуществляется умножение и деление на 10).

Предлагаем вам проверить и обосновать корректность следующего алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, который благодаря своим особенностям допускает более эффективную реализацию на компьютере, нежели описанные выше алгоритмы.

Алгоритм. Пусть а и b — натуральные числа.

ПОЛОЖИТЬ НОД=1;
ПОКА оба числа а и b четные
ДЕЛАТЬ поделить каждое из них на 2
и умножить НОД на 2;
ВСЕ-ПОКА
ПОКА оба числа а и b отличны от нуля
ДЕЛАТЬ
ЕСЛИ одно из чисел a, b четное
ТО поделить его на 2
ИНАЧЕ заменить большее из чисел а, b их разностью;
<Комментарий: в процессе выполнения последнего цикла
одно из чисел а, b обязательно будет нечетным>
ВСЕ-ПОКА
выбрать из получившихся чисел а, b ненулевое и домножить на него НОД

В ряде задач бывает нужно представить некоторое целое число в виде суммы чисел, кратных заданным. Понятно, что для решения этой задачи необходимо, чтобы это число делилось на наибольший общий делитель заданных чисел (так как каждое слагаемое такого представления делится на него). Оказывается, это условие является также и достаточным, то есть любое число, делящееся на наибольший общий делитель, можно представить в таком виде!

Утверждение. Наибольший общий делитель набора чисел можно представить в виде суммы чисел, кратных числам набора.

Мастер Йода рекомендует:  Шпионские игры или как узнать владельца домена

Алгоритм Евклида (использующий деление с остатком) позволяет явным образом найти это представление. А именно, каждый раз при замене числа а на его остаток по модулю b нужно записать равенство r = a — bq. В конце мы получим такое равенство для наибольшего общего делителя. А теперь только осталось подставить эти равенства друг в друга, начиная с последнего!

Пример нахождения такого представления для чисел 30, 42 и 280 показан в таблице 2. Наибольший общий делитель набора чисел, равный 2, представлен в виде суммы чисел 30•1 + 280•(–1) + 42•6, кратных числам набора 30, 280, 42 соответственно.

Номер шага 1-е число 2-у число 3-е число Соотношение
Шаг 1 30 42 280
Шаг 2 30 42 28 28=280-42*6
Шаг 3 2 42 28 2=30-28*1
Шаг 4 2 28 ­
Шаг 5 2 НОД=2

В итоге получаем 2 = 30 – 28•1 = 30 – (280 –– 42 • 6) • 1 = 30 • 1 – 280 • 1 + 42 • 6.

Представим себе, что нас интересуют не сами числа, а их остатки от деления на некоторое число т (говорят — “остатки по модулю т”). Такая ситуация встречается довольно часто.

Пример. Игра “в камушки”.

Из кучки камней двое играющих по очереди берут 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто берет последний камень. Как играть второму, чтобы выиграть, если в кучке 17 камней?

Выигрышная стратегия второго игрока:

Второй должен брать всегда столько, чтобы вместе со своим противником взять 4 камня. Так как остаток от деления 17 на 4 равен 1, последний камень достанется первому игроку.

Если нам известны остатки r 1 и r 2 чисел а и b по модулю т, то, даже не зная самих чисел, можно определить остатки суммы а + b или произведения аb по модулю т. Для этого надо сложить или перемножить заданные остатки и затем найти остатки от деления
r
1 + r 2 или r 1 r 2 на т. Сформулируйте самостоятельно алгоритм для нахождения остатка разности.

Теперь забудем о самих числах и будем работать только с их остатками от деления на т. Получается замечательная арифметика — в ней всего т чисел:

Мы можем построить таблицы сложения и умножения, которых будет достаточно для перемножения любых чисел этой замечательной арифметики. Нам не понадобятся ни алгоритмы “поразрядного” сложения, ни умножения “столбиком”! Такую арифметику мы будем называть модульной, а число т — ее модулем.

Пример таблиц сложения и умножения для m = 5 приведен ниже.

3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3

Таблица сложения по модулю 5

3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1

Таблица умножения по модулю 5

Особенно интересна модульная арифметика для простого числа р. Так, в ней можно определить деление остатков. А именно, если а и b — остатки по модулю р, b № 0, то существует такой остаток с, что а = ; естественно его обозначить через а/b. Таким образом, остатки по модулю р “так же хороши”, как и рациональные числа: для них можно определить действия сложения, вычитания, умножения и деления, причем они обладают привычными свойствами (говоря математическим языком, они образуют поле).

Важность модульной арифметики для вычислений определяется следующей теоремой.

Китайская теорема об остатках

Если заданы натуральные попарно взаимно простые числа m 1 , m 2 , …, m n и целые числа k 1 , k 2 , . k n такие, что при любом i 0 Ј k i i , то существует единственное число k 1 , m 2 , . , m n такое, что для всех i остаток от деления k на т i равен k i .

Смысл этой теоремы в том, что натуральные числа однозначно представляются своими остатками по некоторой системе модулей.

Как говорят в таких случаях, имеет место взаимно-однозначное соответствие между числами, меньшими т 1 , т 2 , . , т n , и наборами их остатков по модулям чисел т i . Если учесть, что это соответствие сохраняется при арифметических действиях, мы получаем мощное средство для быстрых вычислений с большими числами!

На практике в качестве т i обычно берут несколько первых простых чисел.

Уровень 1. Рассмотрим алгоритм нахождения НОД, построенный на основе метода вычитаний с таким уточнением: “На каждом шаге алгоритма из наибольшего числа набора вычитается следующее по величине или равное”.

а) Примените этот алгоритм к набору из примера: <72; 84; 132; 144>.

б) Приведите пример набора из четырех различных чисел, для которого этот алгоритм является лучшим из всех алгоритмов, основанных на методе вычитаний.


в) Приведите пример набора из четырех различных чисел, для которого этот алгоритм не является лучшим.

Предложите алгоритм выбора пар для вычитания, обеспечивающий возможно меньшее число шагов в обсуждаемом методе нахождения НОД.

Уровень 1. Опишите алгоритм. Продемонстрируйте его работу для набора чисел из пункта в задачи 1.

Уровень 2. Напишите программу, которая по заданному набору из n чисел определяет последовательность выбора пар, приводящую к результату за возможно меньшее число шагов.

Количество чисел n Ј 10
1-е число набора
2-е число набора
.
n-е число набора

Количество операций т
Номер 1-го уменьшаемого Номер 1-го вычитаемого
Номер 2-го уменьшаемого Номер 2-го вычитаемого
.
Номер m-го уменьшаемого Номер m-гo вычитаемого

Ввод Вывод
3 5
10 1 3
6 1 2
4 2 3

Уровень 1. Ваш знакомый живет в стандартном двенадцатиэтажном доме в квартире 87. На каком этаже может располагаться его квартира? (На лестничной площадке одно и то же число квартир.) Вообще, как быстро определить, может ли квартира с данным номером находиться на данном этаже?

Уровень 1. Язык племени мумбу-юмбу состоит из шестибуквенных слов, составленных из букв <А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К>. В Оксфорде издан полный словарь слов этого языка (упорядоченных по алфавиту):

АААААА,
АААААБ,
АААААВ

КККККИ,
КККККК.

На каждой странице словаря помещается 15 слов.

На каких страницах и в каких строках находятся слова ДЕКАДА и ЗАБАВА?

Найдите цифру с номером n в последовательности

01234567891011121314151617181920. записанных подряд натуральных чисел.

Уровень 1. Опишите алгоритм. Найдите цифру с номером 1999.

Уровень 2. Напишите программу.

Для любого натурального числа алгоритм совершает следующие операции: отделяет от числа первую цифру и прибавляет ее к числу из оставшихся цифр. Процесс оканчивается тогда, когда в числе остается одна цифра. Например:

123456 ® 23457 ® 3459 ® 462 ® 66 ® 12 ® 3.

Уровень 1. Определить результат работы алгоритма для чисел вида при различных значениях n.

Уровень 2. Напишите программу, которая выдает все промежуточные результаты для чисел из не более чем 50 цифр.

Количество цифр заданного числа
1-я цифра
2-я цифра

п-я цифра.

Первый промежуточный результат
Второй промежуточный результат

Итоговая цифра.

Известно, что любую дробь , где а и b — натуральные числа, можно представить в виде цепной дроби.

Уровень 1. Опишите алгоритм. Представьте в виде цепной дроби .

Уровень 2. Напишите программу, которая по данным числам a и b представляет дробь в виде цепной дроби (a, b 0
Число с 1

Число с n

Вывод: 3 0 1 1 4

Уровень 1. Пусть большее из чисел набора <а, b> равно 1999. Какое максимальное число шагов может сделать алгоритм Евклида с делением для такого набора в худшем случае? Каким при этом будет второе число набора? Приведите пример такого числа. Сколько таких чисел?

Уровень 2. Придумайте алгоритм для нахождения по числу а

Уровень 1. Обобщить алгоритм Евклида с делением на 2 и вычитанием для наборов из более чем двух чисел. Применить обобщенный алгоритм к набору <72; 84; 132; 144>.

Уровень 2. Доказать, что если одно из чисел а, b четное, а другое нечетное, то следующее преобразование сохраняет множество общих делителей а и b:

ЕСЛИ ровно одно из чисел а, b четное
ТО поделить его на 2
ИНАЧЕ заменить большее из чисел а, b
их разностью

Есть несколько ведер с различными емкостями. Разрешается этими ведрами добавлять или вычерпывать воду из бочки. Сначала бочка пуста.

Уровень 1. Необходимо налить в бочку 1 литр воды, имея в распоряжении ведра емкостью 17, 32 и 45 литров. Как это сделать поскорее (за возможно меньшее количество переливаний)? Сколько при этом будет перелито воды? Можно ли выполнить эту работу, чтобы общее количество перелитой воды было еще меньше?

Уровень 2. Написать программу, которая выдает последовательность действий для наливания в бочку а (a 1 000 000) литров воды.

Число ведер п Ј 10
Емкость 1-го ведра
Емкость 2-го ведра

Емкость п-го ведра
Нужное число литров а

Число операций т
1-я операция
2-я операция

m-я операция

Каждая операция представляет собой

+ номер ведра (долить в бочку)

— номер ведра (вычерпать из бочки)

Ввод Вывод
2 3
3 +1
5 +1
1 -2

Уровень 1. Из кучки камней двое играющих по очереди берут 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто берет последний камень. Предположим, что всего камней N. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию? Опишите ее. А если выигрывает взявший последний камень?

Уровень 1. Алиса, попав в cтрану чудес, забыла таблицу умножения. Она говорит: “семью семь будет . пятнадцать, девятью девять будет . тринадцать”.

Определите, в какой модульной арифметике такие правила умножения справедливы. Сколько всего таких арифметик?

Уровень 2. Напишите программу, которая по введенным примерам таблицы умножения определяет, существует ли модульная арифметика, в которых эти примеры имеют место. Чем больше таких модулей найдет ваша программа и чем быстрее она это сделает, тем лучше.


Число равенств п Ј 10
1-е равенство
2-е равенство

п-е равенство

Каждое равенство имеет вид

число1 * число2 = число3

Число найденных модулей т
1-й модуль
2-й модуль

n-й модуль

Ввод Вывод
1 2
3*5 6
12

По заданным остаткам а, b по простому модулю р найти а/b (в решении этой задачи пригодится представление наибольшего общего делителя суммой чисел, кратных числам набора).

Уровень 1. Опишите алгоритм. Найдите 17/23 по модулю 239.

Уровень 2. Напишите программу вычисления частного а/b (а, b, р

Ввод: Вывод:
5 4
2
3
4

Задача 14 (повышенной трудности)

Уровень 2. Напишите программу, которая по заданным не более чем 25-значным числам а, b, с и d проверяет, верно ли, что ab = cd.

Указание. Проверьте равенство для остатков от деления чисел а, b, с и d на все простые числа до 100. (Так как произведение всех простых чисел до 100 более чем 25-значное, по китайской теореме об остатках этого достаточно, чтобы обосновать исходное утверждение.)

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0

прикладная математика

Деление без деления — задача от Admin(a)

Хорошо известно, что умножение легко заменить сложением. Пишем цикл, который нужное число раз повторяет операцию накопления суммы. Есть нюансы: сложение не целых чисел, отрицательных. Есть тонкости: быстрее получется, если суммировать большее число меньшее число раз. Ну а теперь задачка.

Реализуйте операцию деления, не используя операции деления. Не разрешается использовать вариации операции деления (целочисленное, получение остатка и т.д.). Или опровергайте такую возможность.

Оригинальное решение будет оцениваться добавлением баллов в репутацию. И еще: алгоритм можно записать в текстовом виде или в математической форме (кому-как удобно). Успехов.

Математические операции в C++ — урок 4

Доброго времени суток! Тема математических операций является неотъемлемой частью любого языка программирования. А поскольку мы уже успели познакомится с переменными в C++, то самое время поподробнее узнать об использовании математических операторах.

Содержание статьи:

Теперь давайте по порядку рассмотрим каждый математический оператор.

Сложение

Сложение в C++ реализовано абсолютно также как и в математике. Собственно, если мы хотим сложить два числа или переменные, то мы должны между ними поставить знак плюс (+):

Операцию сложения можно выполнять практически со всеми типами в С++.

Вычитание

Для вычитания в C++ используется тот же принцип, что и для сложения. Мы просто указываем два числа или переменные, а между ними знак минус (-):

Операцию вычитания, также как и сложения, можно использовать почти всеми типами в C++.

Также у оператора вычитания есть еще одна возможность: если мы перед переменной или числом поставим минус, то данное число или переменная поменяет свой знак на противоположный (минус на плюс, а с плюса на минус):

Тоже самое можно сделать и с плюсом, но он совершенно ничего не меняет (проверьте сами).

Умножение

Если мы хотим умножить переменные или числа, то мы должны между ними поставить знак звездочки (*). Он имеет больший приоритет, нежели сложение или вычитание (только если это не унарный оператор минус, который указывается перед числом):

Как видите вначале выполняется умножение, а только потом сложение (или вычитание). Также, как и в математике, мы можем группировать несколько действий с помощью скобок:

Скобки можно применять с любыми операторами в C++.

Деление

Если вы хотите разделить число, то вам нужно воспользоваться слешем (/). Вот пример его использования:

Приоритет у операции деления такой же, как и у умножения.

Но будьте осторожны при делении числа целого типа. Если оно не будет делится нацело, то C++ возьмет только целую часть и полностью отбросит дробную. Если вы хотите сохранить точность, то пользуйтесь типом float или double :

Как видите, теперь дробная часть никуда не денется от нас �� .

Остаток от деления

Если же вы хотите узнать, делится ли число нацело на другое, то вам нужно узнать остаток от деления. В C++ для выполнения этой операции используется знак процента (%). Если остаток от деления будет равен нулю, то число A нацело делится на число B:

Оператор остатка от деления имеет такой же приоритет, как и операции умножения и деления.

Вот мы и рассмотрели математические операции в C++. Поскольку мы полностью рассмотрели данную тему, я вам рекомендую пройти небольшой тест. Тем самым вы сможете протестировать свои знания.

Добавить комментарий