9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции


Дифференцируемость функции

10.10.2020, 16:58

Дифференцируемость функции
Привести пример двух недифференцируемых функций в точке х0, частное которых дифференцируемо в этой.

Дифференцируемость функции
Исследовать функцию на дифференцируемость. Где тут точки разрыва?

Дифференцируемость функции
Есть функция y=x^2, — x иррационально; y=0, x — рационально. Задача исследовать на.

Дифференцируемость функции в точке
Нужон проверить является ли функция дифференцируемой в точке (0,0) f(x,y)=\sqrt<^<2>y>

Дифференцируемость функции в точке
Показать, что ф-я не дифиринцируемая в точке ч х = 1 f(x) = ^ <2>\, \! x\leq 1 .

10.10.2020, 17:15 2 11.10.2020, 09:34 [ТС] 3

Данная производная возьмётся, так как частные производные — непрерывные функции.

Добавлено через 21 секунду
Но я знаю наверняка, что функция не дифференцируема.

11.10.2020, 10:04 4

А производные и правда непрерывны (= 0)
Получается, что в точке (0,0) функция дифференцируема.

Добавлено через 1 минуту
Да и по всем направлениям производная в точке (0,0) равна 0.

11.10.2020, 10:04
11.10.2020, 13:17 5

Решение

О непрерывности в точке (неизолированной) можно говорить лишь в том случае если функция определена в некоторй окрестности этой точки. Функция не имеет частных производных в точках (x,0), (0,y) и следовательно, не приходится говорить об их непрерывности в точке (0,0). Теорема не применима.

«Производные по направлениям равны нулю».
Не-а. Считаем производную в (0,0) по направлению y=kx:

Недифференцируемость в (0,0) можно доказать так.
Функция дифференцируема в точке (x0,y0), если приращение функции в этой точке можно представить в виде
. где
удовлетворяет условию .
Здесь это условие не выполнено. Частные производные в (0,0) равны нулю и получаем
.
Но не существует (пределы по разным направлениям разные)

ФизМат

вторник, 3 декабря 2013 г.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференцируемость и непрерывность (с доказательством).

Теорема
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.


Доказательство

Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке , т.е. . Разделив обе части данного равенства на , получим: .

Из определения производной функции в точке: .

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке и .

Достаточность. Пусть существует конечная производная . Покажем дифференцируемость функции. .

Связь дифференцируемости с непрерывностью функции в точке.

Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Справедливость утверждения следует из и , а по определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Обратное утверждение не верно.

Например, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция непрерывна.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ГОЛОМОРФНОСТЬ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Сделаем небольшой экскурс в дифференциальное исчисление функций нескольких действительных переменных, ограничиваясь случаем двух независимых переменных.

Пусть функция f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (.v;y)e/? 2 . При достаточно малых приращениях Дх, Ду точка (л + Дх; у0 + Ду) не покидает эту окрестность, поэтому определено полное приращение функции

которое короче будем обозначать Дf. Функция называется дифференцируемой в точке (лг;_у), если ее приращение можно представить в виде

где а,Ь — некоторые постоянные, а$ — функции от приращений, являющиеся бесконечно малыми при Дх—»0,Ду—>0 и обращающиеся в ноль при Да- = Ду = 0.

Равенство (4.1) имеет место тогда и только тогда, когда с теми же коэффициентами возможно представление

где р = у](Ах) 2 + (Ду) 2 , у —» 0 при Дх, Ду —> 0, у(0,0) = 0.

Очевидно, из дифференцируемости функции в точке (.х»7о) вытекает существование в этой точке частных производных

а обратное не верно. Известно достаточное условие дифференцируемости — наличие непрерывных частных производных в окрестности точки (-Х,_у) •

Вернемся к функции комплексного переменного z = x + yi. Пусть функция /(z) определена в окрестности точки

z, и(х;у) = Re/(z), v(,v;y) = Im(z). Рассмотрим следующие определения.

Функция называется дифференцируемой в точке z = x + iy0 в смысле действительного анализа (R— дифференцируемой), если ее действительная и мнимая части и(х9у), v(x,y) обе дифференцируемы в точке (*;_у) в вышеуказанном смысле.


Положим Дг = Дг + /Ду. Функция называется дифференцируемой в смысле комплексного анализа в точке z (С — дифференцируемой), если се приращение A/'(z) = /(z + Az)-/(z), которое записываем далее А/’, можно представить в виде

где сеС — некоторая постоянная, у — бесконечно малая функция от Az при

Az^>0 у(0)=0. Здесь константа с является пределом отношения — при

Az —>0, то есть, по определению и по аналогии с одномерным действительным анализом, производной функции /(z) в точке z, обозначаемой / (z). Как и в одномерном анализе, получаем следующее утверждение: для того, чтобы функция /(z) была С — дифференцируемой в точке z, необходимо и достаточно, чтобы у нее в этой точке существовала конечная производная

Функцию, имеющую производную в данной точке, называют также моногенной в этой точке.

Мы видим, что определение производной функции комплексного переменного такое же, как и в действительном анализе. Поэтому в комплексный анализ переносятся элементарные правила дифференцирования (производные суммы, произведения и т.д.). Нет смысла останавливаться на их формулировках и доказательствах.

Оказывается, что большой произвол в способе стремления Az —> 0 приводит к тому, что даже очень простые функции комплексного переменного могут не иметь производной. Примером является функция f(z) = x + 2y (х = Rez, у = Imz). Обратите внимание: функция непрерывна всюду в С, но ни в одной точке у нее нет производной! В действительном одномерном анализе аналогичные функции строились с большим трудом (примеры Вейерштрасса, Пеано, Ван дер Вардена и др.).

Связь между указанными видами дифференцируемости комплекснозначной функции дает следующее утверждение.

Теорема. Для того, чтобы функция w= /(z), где z = x+yi,w=u + iv, была С — дифференцируемой в точке z+ iy, необходимо и достаточно, чтобы функции и = и(х9у)9 v = у(л;,д>) были R — дифференцируемы в точке (*) и в ней выполнялись условия Коши-Римана

Доказательство. Покажем, что из С — дифференцируемости вытекает R — дифференцируемость и условия (4.3). Имеем: Aw=c-Az + y-Az. Обозначим

Так как Aw=Au +1 Av, то, вспоминая равенство комплексных чисел, отсюда Или, подгоняя под равенство (4.1),

Эти равенства означают дифференцируемость функций u,v в точке (x;y)eR 2 . Вспоминая смысл коэффициентов в (4.1), запишем равенства

Отсюда вытекают условия Коши-Римана.

Докажем далее, что, наоборот, R — дифференцируемость при наличии условий (4.3) влечет С — диффсрснцирусмссть. Дважды воспользуемся записью дифференцируемости в форме (4.1а):

а бесконечно малые а,р (при Ах—>0, Ау —>0 ) обращаются в ноль при нулевых приращениях. Имеем:

Здесь сумму первых двух слагаемых можно записать в виде

+ Ы) ? (Ах + i Ay). Обозначим с = а+Ы9 у = (а + fii)—,Az = Ах + /Ау. Заме-

тим, что здесь дробь есть величина ограниченная (по модулю нс превосходит единицы). Получим

А это и означает С — дифференцируемость функции w=/(z) в точке z. Теорема доказана.

В качестве следствия отметим, что производная / (z) = c = a + bi может быть найдена по формулам

Здесь все частные производные находятся в точке (дг;_у).

Заметим, что в литературе условия (4.3) часто называют условиями Да- ламбсра-Эйлсра. Эти условия и следствия из них впервые получил Даламбср в 1758 в задаче об обтекании твердого тела жидкостью. К этим условиям пришел также Эйлер (1755) в двух статьях по гидродинамике. Позднее эти условия Коши и Риман положили в основу изучения аналитических функций комплексного переменного.

На практике полезно учесть, что наличие непрерывных частных производных (первого порядка) у функций и(х,у), v(x,y) гарантирует их R — дифференцируемость, поэтому при решении задач на С — дифференцируемость можно поступить так: найти частные производные функций w,v, убедиться в их непрерывности в окрестности интересующей нас точки, а затем проверить, выполняются ли в точке условия Коши-Римана.

Пример. Исследовать на С — дифференцируемость функцию w = /(z) = z|z| 2 .


Решение. Действительная и мнимая части функции соответственно

Найденные частные производные непрерывны везде. Далее ищем точки, в которых выполняются условия (4.3). Получим систему

Итак, рассматриваемая функция дифференцируема в единственной точке z = 0. При этом

Мы убеждаемся в естественности понятия С — дифференцируемости. Однако, оказывается, сс наличие в одной лишь точке недостаточно для построения содержательной теории. Поэтому требуют С — дифференцируемость не в одной точке, а во все близких точках. Ввели следующее понятие.

Функция / называется голоморфной (регулярной) в точке zeC, если она С — дифференцируема не только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности.

В примере, приведенном выше, функция R — дифференцируема везде, но дифференцируема в смысле комплексного анализа лишь в точке z = 0. Следовательно, в этой точке она не является голоморфной.

Функция /(z) = z 2 голоморфна во всех точках комплексной плоскости. Действительно, частные производные непрерывны везде, условия Коши- Римана выполняются во всех точках (убедитесь в этом самостоятельно).

Заметим, что иногда вопрос о дифференцируемости функции можно решить проще, без применения условий Коши-Римана, так как основные правила дифференцируемости в действительном анализе справедливы и в

комплексном анализе. Например, для функции /(z) = ^-^ по правилу диф-

ференцирования частного получим (детали опущены) / (z) = —-.

Функция голоморфна везде, кроме точки z = 1.

В заключение приведем небольшую подборку задач к этой главе.

Задачи к главе 4

4.1. Следующие функции исследовать на дифференцируемость в смысле комплексного анализа:

4.2. Выяснить, в каких точках комплексной плоскости имеют производную указанные функции:

    4.3. Будет ли голоморфной в некоторой области функция w = х 3 -3ху

-/(> ‘ -Зх 2 ) ? Если да, то найти ее производную в этой области.

  • 4.4. Доказать, что если функция /(z) голоморфна в области DczC и сс производная равна нулю в любой точке области, то в ней функция постоянная.
  • 4.5. Если функция /(z) голоморфна в области и хотя бы одна из функций
  • постоянная в области, то в ней функция есть константа.

    9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции


    Однажды восприняв теорию эволюции, вы начинаете видеть природу с позиций конкуренции и выживания. Вы понимаете, почему микробы становятся резистентными к лекарственным препаратам (выживание наиболее приспособленных). Или, например, почему нас тянет к сладкой и жирной пище (поощрение природой потребления высококалорийных продуктов на случай дефицита).

    Аналогичным образом изучение математического анализа подобно просветлению. В школьном курсе мы изучаем приведенные ниже формулы в различных разделах геометрии, получаем их как данность. Но разве они не связаны каким-то образом? Математический анализ показывает, что одно следует из другого. Сегодня мы будем двигаться относительно приведенного изображения справа налево. Как бы расщепляя природу объектов, подменяя их более простыми сущностями, дифференцируя.

    11. Дифференцируемость функции в точке. Функции, дифференцируемые на интервале и их свойства: Теоремы, Роля, Лагранжа.

    Дифференцируемость функции в точке

    Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), x-некоторая фиксированное значение аргумента из указанного интервала, x-любое приращение аргумента.

    Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в данной точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде y=A x + x, где А — некоторое число, не зависящее от x, а — функция аргумента x, является бесконечно малой при x 0.

    Теорема. Для того чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

    Док-во: 1) Необходимость: пусть функция y=f(x) дифференцируема в данной точке x, то есть ее приращение y в этой точке представимо в виде y=A x + x. Предположив, что x#0 поделим это равенство на x. Получим =A+ . Из этого равенства вытекает существование производной, т.е.lim( x 0) =A

    2) Достаточность: пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует предельное значение lim( x 0) =f ’(x)

    В силу определения предельного значения функция = -f’’(x) аргумента x является бесконечно малой при x 0, т.е. y= f’’(x) x + x, где lim( x 0) =0. Это представление совпадает с представлением y=A x + x, если обозначать через А не зависящее от x число f’’(x). Т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x.

    Теорема. Если каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема в данной точке x, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также дифференцируемы в этой точке:

    Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема во всех внутренних точках этого интервала.

    Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то f ’(c)=0.

    Опр. локального max(min): Говорят, что функция y=f(x) имеет в точке c локальный max(min), если найдется такая окрестность точки с, в пределах которой значение f(с) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этих функций.

    Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

    Читайте также:

    1. Cущность банковского процента, его функции и роль.
    2. I. Функции времени в спутниковых технологиях.
    3. I. Экстремумы функции двух переменных
    4. IV. Функции
    5. MPL) пересекает кривую среднего продукта (АРL) в точке максимума последнего.
    6. N Выполняет функции гормона
    7. N Особенности структуры и функции обуславливают особенности в метаболизме клеток
    8. TCR. Функции Т-лимфоцитов
    9. А. Функции для оценки разброса данных.
    10. Агрегатные функции.
    11. Адаптация, ее цели, функции, аспекты
    12. Администратор базы данных и его функции

    Производная функции, согласно ее математического определения (5) и (6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

    а) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

    Если для данного x имеет место вариант (а), то есть если при заданном x производная функции существует и конечна, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

    Функция, дифференцируемая в каждой точке x некоторого промежутка оси ох (например, интервала (a; b) или отрезка [a; b]) называется дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

    Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (11) и рис.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке x:

    1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой x.

    2) Не вертикальность этой касательной (ибо не существует).


    Например, функция , график которой изображен на рис.7, не дифференцируема в точках x1, x2 и x3.

    Действительно, точке x1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке x2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке x3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

    Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она не вертикальна. Значит, для всех остальных x, отличных от (x1; x2; x3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках x функция дифференцируема.

    Непрерывность функций.

    Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной при значении х=х (или в точке х), если она определена в некоторой окрестности точки х ( очевидно, и в самой точке х) и если или, что то же самое, .

    Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у=f(x) в точках и х будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно мало.

    Для непрерывных функций справедливы следующие теоремы, регламентирующие операции с этими функциями:

    Теорема 1:Если функции и непрерывны в точке х, то сумма также есть непрерывная функция в точке х.

    Теорема 2:Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

    Теорема 3:Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

    Теорема 4:Если непрерывна при и f(u) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке х.

    Еще три теоремы описывают свойства непрерывных функций:

    Теорема 5:Если функция y=f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению , где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению . Значение функции будем называть наибольшим значением функции y=f(x) на отрезке , значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке . (см. рис. 8)

    Теорема 6:Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль: .

    Геометрический смысл этой теоремы в том, что график непрерывной функции , соединяющий точки и , где и ( или и ) пересекает ось ох по крайней мере в одной точке.

    Теорема 7:Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , то каково бы ни было число , заключенное между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и b, что .

    Геометрический смысл этой теоремы родственен теореме 6. В данном случае всякая прямая пересекает график функции .

    | следующая лекция ==>
    Полномочия суда и основания к отмене решений, определений и постановлений в порядке надзора |

    Дата добавления: 2014-01-07 ; Просмотров: 1969 ; Нарушение авторских прав? ;

    Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

    Дифференцируемость функции

    Определение 1 (дифференцируемость в точке).Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение ∆ y этой функции в точке x представимо в виде

    y =Ax +ά(∆ x) ∆x, (1)


    где A — некоторое число, не зависящее от ∆ x, а lim∆ x→ 0 ά (∆x ) = 0.

    В дальнейшем будем считать, что ά (0) = 0. В этом случае функция a(x) будет непрерывной в точке ∆ x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции ά (∆x), ∆x — бесконечно малые в точке ∆x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому

    y =Ax +o(∆ x). (2)

    Теорема 1.Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

    Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на ∆ x≠ 0 получим

    Переходя к пределу в последнем выражении при ∆ x→ 0, получим, что A=f'(x).

    Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел

    Обозначим a(∆ x) = ∆ y/ ∆ x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).

    Пример 1. Доказать, что функция |x| не дифференцируема в точке x = 0.

    Решение. Найдем приращение функции в точке x = 0 :

    следовательно, функция |x| в точке x = 0 не дифференцируема.

    Следующая теорема выражает связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

    Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность).Если
    функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

    Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim∆ x→ 0 ∆ y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.

    Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 1.

    Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.

    Правила дифференцирования

    Приведем основные правила для нахождения производной:

    1. Производная постоянной равна нулю, то есть c’ = 0.

    2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть

    3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

    Следствие 1.Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

    4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле


    9 гифок, наглядно иллюстрирующих дифференцируемость функции

    Из определения дифференцируемой функции вытекает, что она может быть хорошо приближена в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией, чей график является прямой. Функция , задаваемая уравнением fl(x) = f(x) + (f)'(x)(xx) , называется касательной к функции f в точке x.

    Примеры

    • Функция f(x) = x 2 определена и дифференцируема в любой вещественной точке. Действительно, имеет место представление f(x) = f(x) + 2x(xx) + (xx) 2 .

    Таким образом имеем: f‘(x) = 2x . Уравнение касательной для этой функции имеет вид: . Дифференциал этой функции задаётся формулой: df(x)(h) = 2xh .

    • Функция f(x) = | x | является непрерывной, но не является дифференцируемой в точке x = 0 , её производная в этой точке не существует. Соответственно, в этой точке не определён и её дифференциал.

    См. также

    Ссылки

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Дифференцируемость» в других словарях:

    Дифференцируемость функции в точке — Дифференцируемая функция в математическом анализе это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так… … Википедия

    Непрерывная дифференцируемость — Дифференцируемая функция в математическом анализе это функция, которая может быть хорошо приближена линейной функцией. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет большое число приложений как внутри неё, так… … Википедия

    АППРОКСИМАТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ — обобщение понятия дифференцируемости с заменой обычного предела аппроксимативным пределом. Действительная функция действительного переменного наз. аппроксимативно дифференцируемой в точке х 0, если существует такое число А, что При этом величина… … Математическая энциклопедия

    Аналитические функции — функции, которые могут быть представлены степенными рядами (См. Степенной ряд). Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в… … Большая советская энциклопедия

    Дифференцируемая функция — Дифференцируемая (в точке) функция это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является… … Википедия

    Лобачевский, Николай Иванович — родился 22 октября 1793 г. в Нижегородской губернии (по одному источнику в Нижнем Новгороде, по другому в Макарьевском уезде). Отец его Иван Максимович, выходец из Западного края, по вероисповеданию католик, потом перешедший в православную веру,… … Большая биографическая энциклопедия

    АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия

    НЕЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — отображение А векторного (как правило) пространства Xв векторное пространство Yнад общим полем скаляров, не обладающее свойством линейности, т. е. такое, что, вообще говоря, Если есть множество действительных чисел или комплексных чисел , то Н. о … Математическая энциклопедия

    Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная&# … Википедия

    Голоморфная функция — осуществляет конформное отображение, преобразуя ортогональную сетку в ортогональную (там где комплексная производная не обращается в нуль). Голоморфная функция, также называемая регулярно … Википедия

    Дифференцируемость функции

    Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке x, если ее приращение можно представить в виде

    где A – некоторое число, не зависящее от .


    Теорема 1. Для того, чтобы функция , была дифференцируемой в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

    Доказательство. Необходимость. Пусть дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на :

    Переходя к пределу при , получим

    т.е. в точке x существует производная и она равна A: .

    Достаточность. Пусть существует конечная производная .

    Тогда и, следовательно,

    В этом соотношении нетрудно увидеть равенство (1). Теорема доказана.

    Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование конечной производной – понятия равносильные.

    называют формулой бесконечно малых приращений.

    Между понятиями дифференцируемости и непрерывности существует связь, устанавливаемая следующей теоремой.

    Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке.

    Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

    Естественно возникает вопрос о том, справедливо ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: . Она непрерывна в нуле, но не существует.

    Приведем еще один пример такой функции.

    Пример 1.

    Данная функция – неэлементарная, возможная точка разрыва (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

    следовательно, непрерывна в точке . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

    Но нам уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в ¥, синус предела не имеет. Итак, не существует, т.е. недифференцируема в нуле.

    Отметим, что математиками построены примеры функций, непрерывных на некотором промежутке, но не имеющих производной ни в одной точке этого промежутка.

    Дата добавления: 2015-05-07 ; просмотров: 741 | Нарушение авторских прав

    Дифференцируемость функции в точке

    Определение 3.2. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

    где — некоторое число, не зависящее от , а — функция аргумента , являющаяся бесконечно малой при , т.е. .


    Равносильность дифференцируемости функции в точке и существования в этой точке конечной производной данной функции устанавливает следующая теорема.

    Теорема 3.1. Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

    Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (3.4). Поделим равенство (3.4) на (при ), получим .

    Переходя к пределу при имеем

    Отсюда следует, что производная в точке существует и равна A:

    Достаточность. Пусть существует конечная производная , т.е. Пусть ; тогда функция является бесконечно малой при

    Из последнего равенства имеем где Получено представление (3.4), тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке .

    Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

    Определение 3.3. Функцию, дифференцируемую в каждой точке открытого множества , называют дифференцируемой на множестве .

    Например, функция дифференцируема в любой точке множества .

    Пример. Доказать, что функция не дифференцируема в точке

    Решение. Производная функции (если она существует) равна Очевидно, что при производная не существует, так как отношение равно 1 при и

    -1 при , т.е. не имеет предела при (ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке (рис. 3.8).

    Рис. 3.8

    Следущая теорема устанавливает связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.

    Теорема 3.2.Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

    Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено соотношением (3.4). Тогда, переходя к пределу при , получаем

    что и означает непрерывность функции в точке , согласно определению непрерывности функции в точке.

    Обратная теорема не верна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция непрерывна в точке , так как (рис. 3.8), но, как было доказано, не дифференцируема в этой точке.

    Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.

    В математике известны непрерывные функции, но не дифференцируемые ни в одной точке.

    Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функции допускает конечное число точек разрыва (причем, первого рода), то такая функция на данном промежутке называется кусочно — гладкой.

    Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

    Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

    Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

    Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

    Мастер Йода рекомендует:  Закругленные углы с помощью радиуса округления границ рамки CSS3
    Добавить комментарий