9 гифок, наглядно иллюстрирующих числовые последовательности


Оглавление (нажмите, чтобы открыть):

Последовательности
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Презентация к уроку алгебры в 9 классе «Последовательность» состоит из 12 слайдов и содержит в себе задания на нахождение членов последовательностей, заданных аналитическим способом. Задания подобраны после тщательного изучения материалов тренировочных работ и демоверсий по подготовке к государственной итоговой аттестации учеников 9 классов 2014 года выпуска. Презентация поможет учителю составить план занятия и заметно сэкономить время по подготовке к уроку, а также сделать урок более интересным. Материал слайдов минимален и красочен, а, следовательно, доступен для восприятия всех учащихся, разных уровней подготовки.

Скачать:

Вложение Размер
posledovatelnosti_1.ppt 457 КБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

МБОУ «СОШ №17» г. Ангарск Марченко С.С.

Дни недели Названия месяцев Список учащихся Номер счёта в банке Дома на улице Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать!

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки: 1; 4; 7; 10; 13; … В порядке возрастания положительные нечетные числа 10; 19; 37; 73; 145; … В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 6; 8; 16; 18; 36; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 Увеличение на 3 Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза 1; 3; 5; 7; 9; … 5; 10; 15; 20; 25; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Рассмотренные числовые ряды – примеры числовых последовательностей Обозначают члены последовательности так а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; … а n 1, 2, 3, 4, … , n — порядковый номер члена последовательности. (а n ) — последовательность, (а n ) — последовательность, а n − n -ый член последовательности (а n ) — последовательность, а n − n -ый член последовательности а n -1 − предыдущий член последовательности (а n ) — последовательность, а n − n -ый член последовательности а n -1 − предыдущий член последовательности а n +1 − последующий член последовательности

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности: 1, 2, 3, 4, 5,… — последовательность натуральных чисел; 2, 4, 6, 8, 10,… — последовательность четных чисел; 1, 3, 5, 7, 9, … — последовательность нечетных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, … — последовательность квадратов натуральных чисел; 2, 3, 5, 7, 11, … — последовательность простых чисел; — последовательность чисел, обратных натуральным.

Способы задания последовательностей АНАЛИТИЧЕСКИЙ С помощью формулы n -ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером РЕККУРЕНТНЫЙ от слова recursio — возвращаться х 1 = 1; х n+1 = (n+1)x n n = 1 ; 2; 3; … СЛОВЕСНЫЙ С помощью описания Например: Записать последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны -10, а с чётными номерами равны 10. X 5 = 3 . 5 + 2 = 17 х 2 = ( 1 +1)x 1 = 2·1=2 АНАЛИТИЧЕСКИЙ С помощью формулы n -ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером Х n = 3 n + 2 СЛОВЕСНЫЙ С помощью описания Например: Записать последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны -10, а с чётными номерами равны 10. -10; 10; -10; 10; -10; 10; … х 2 = ( 1 +1)x 1 = 2·1=2 х 3 = ( 2 +1)x 2 = 3·2=6 х 2 = ( 1 +1)x 1 = 2·1=2 х 3 = ( 2 +1)x 2 = 3·2=6 х 4 = ( 3 +1)x 3 = 4·6=24 х 2 = ( 1 +1)x 1 = 2·1=2 х 3 = ( 2 +1)x 2 = 3·2=6 х 4 = ( 3 +1)x 3 = 4·6=24 х 5 = ( 4 +1)x 4 = 5·24=120 х 2 = ( 1 +1)x 1 = 2·1=2 х 3 = ( 2 +1)x 2 = 3·2=6 х 4 = ( 3 +1)x 3 = 4·6=24 х 5 = ( 4 +1)x 4 = 5·24=120 х 6 = ( 5 +1)x 5 = 6·120=720 X 5 = 3 . 5 + 2 = 17 Х 45 = 3 . 45 + 2 = 137

Последовательность задана формулой: а n = n 4 Впишите пропущенные члены последовательности: 1; ___; 81; ___ ; 625; … 16 256

Последовательность задана формулой: Впишите пропущенные члены последовательности: а n = n + 4 5; ___; ___; ___; 9; … 6 7 8

Последовательность задана формулой: Впишите пропущенные члены последовательности: а n = 2 n — 5 ___; __; 3; 11; __; … — 3 -1 27

Последовательность задана формулой: Впишите пропущенные члены последовательности: а n = 3 n — 1 2; 8; ___; ___; ___; … 26 80 242

Дано: (а n ) а n = (-1) n n 2 Найти: а 4 , а 6 , а 9 Решение: а 4 = (-1) 4 . 4 2 = 1 . 16 = 16 а 6 = (-1) 6 . 6 2 = 1 . 36 = 36 а 9 = (-1) 9 . 9 2 = −1 . 81 = − 81

Дано: (а n ) Найти: а 3 , а 4 , а 5 Решение: , а 6 а n +2 = + а n +1 а n + а 2 а 1 = а 3 + 1 = 2 = 1 а 1 = 1 а 2 = 1 + а 3 а 2 = а 4 + 2 = 3 = 1 + а 4 а 3 = а 5 + 3 = 5 = 2 + а 5 а 4 = а 6 + 5 = 8 = 3

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентации по решению задач в Qbasic на тему «Сумма и прозведение натуральных чисел».

Данная презентация может быть полезна в качестве иллюстрации при изучении строения атома. В презентации показана последовательность заполнения энергетических уровней и подуровней в атомах химических э.

Разработки уроков с использованием разноуровневых заданий для самостоятельной работы учащихся.

Открытый урок по физике с элементами здоровьесберегающей и компьютерной технологией. -Раскрыть взаимозависимость силы тока, напряжения и сопротивления цепи при последовательном и пара.

В проекте рассматривается содержательный блок «Последовательности и прогрессии». Проект может быть реализован при работе в 9 общеобразовательном классе. Реализация проекта осуществляется в течен.

Самостоятельная работа. Числовые последовательности. 9 класс. Четыре варианта.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена:

Пример. yn= 2n – 1 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность <yn> называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:


Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y1 = 1; yn = n 2 – возрастающая последовательность.

Пример 2. y1 = 1; – убывающая последовательность.

Пример 3. y1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.

Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T. Число T называется длиной периода.

Пример. Последовательность периодична с длиной периода T = 2.

Арифметическая прогрессия.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность <an>, заданная рекуррентно соотношениями

Пример. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 1, d = 2.

Пример. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a1 = 20, d = –3.

Нетрудно найти явное (формульное) выражение anчерез n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет на величину (n – 1)d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.

Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Используя явное выражение anчерез n, можно доказать следующее свойство арифметической прогрессии: если натуральные числа i, j, k, l таковы, что i + j = k + l, то ai + aj= ak + al. Чтобы в этом убедиться, достаточно подставить i, j, k и l вместо n в формулу n-го члена арифметической прогрессии и сложить. Отсюда следует, что если рассматривать первые n членов арифметической прогрессии, то суммы членов, равно отстоящих от концов, будут одинаковы:

Последнее равенство позволяет вычислить сумму первых n членов арифметической прогрессии:

С этой целью берется еще одна такая же сумма, но слагаемые записывается в обратном порядке:

Далее она складывается почленно с исходной суммой, причем слагаемые сразу попарно группируются. В результате

откуда . Это формула суммы n членов арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним – предыдущего и последующего. Действительно, так как

Сложение двух последних равенств дает .

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность <bn>, заданная рекуррентно соотношениями

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1, и убывающей, если b1 > 0, 0 2 , b2 2 , b3 2 , …, bn2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

пусть Sn сумма ее членов, т.е.

Принимается, что q № 1. Для определения Snприменяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения Snq.

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае Sn = a1n.

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

следовательно, bn2= bn–1 bn+1 и верна следующая теорема (характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.


Предел последовательности.

Пусть есть последовательность <cn> = <1/n>. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число , или . С ростом n все члены геометрической прогрессии убывают и их значение приближается к нулю. В этом случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится и нуль есть ее предел. Записывается это так:

Строгое определение предела формулируется следующим образом:

9 класс Числовые последовательности Что узнаете нового Определение числовой последовательности Способы задания Стандартные упражнения. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемГеоргий Труняков

Похожие презентации

Презентация на тему: » 9 класс Числовые последовательности Что узнаете нового Определение числовой последовательности Способы задания Стандартные упражнения.» — Транскрипт:

2 9 класс Числовые последовательности

3 Что узнаете нового Определение числовой последовательности Способы задания Стандартные упражнения

4 Днинедели Названия месяцев месяцев Классы в школе Номерсчёта в банке Дома на улице Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать

5 Натуральный ряд чисел: 1,2,3,4,……..n, n+1 Числовая последовательность – это функция вида у=f(x), x N. Значения функции записывают принято записывать f(1)=у 1 ; f(2)=у 2 ; f(3)=у 3 …

6 Бесконечные числовые последовательности — Первый член последовательности -Третий член последовательности — n-й член последовательности, n-его номер

7 Последовательность можно задать формулой ее n-го члена.

8 Составьте последовательность квадратов натуральных чисел 1,4,9,16,25,…….,

11 Способы задания Аналитический Рекуррентный Графический Описательный Табличный

12 С помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером х n =3. n+2 x 5 =3. 5+2=17; Х 45 = =137 Аналитический

13 формула n- го члена Примеры: 1) а n =2n+3 a 1 =2·1+3=5 a 2 =2·2+3=7 a 3 =2·3+3 2) a n =100-10n 2. Найдите первые три члена. 3) a n =n 2 -2n-6. Является ли членом последовательности (-3)? Аналитический

16 1) 2n+ 3 = 43 2n = 40 n = 20 2) 2n+ 3 = 50 2n = 47 n = 23,5 Т.к. номер натуральное число, то в данной последовательности нет числа, равного 50.

17 () (от слова recursio — возвращаться) х 1 =1; х n+1 =(n+1)x n n=1; 2; 3; … можно записать с многоточием 1; 2; 6; 24; 120; 720; … Например: Дана последовательность: а 1 =1, а 2 =3, а n+2 =2а n +а n+1 а 3 =2а 1 +а 2 =2. 1+3=5 а 4 =2а 2 +а 3 =2. 3+5=11 а 5 =2а 3 +а 4 = =21 … Рекуррентный

19 Описательный Пример: 3; 7; 13; 19; 29; … Это- простые числа (через одно)

Анализируем числовые последовательности

Иногда, если имеешь дело с числовыми последовательностями или бинарными данными, возникает желание “пощупать” их, понять, как они устроены, подвержены ли сжатию, если зашифрованы, то насколько качественно. Если речь идет о генераторах псевдо-случайных чисел, хочется знать, насколько они псевдо и насколько случайны.
В самом деле, что тут можно придумать, ну … матожидание, дисперсию посчитать или гистограмму какую построить…
Сейчас мы рассмотрим метод, позволяющий снимать, своего рода, отпечатки пальцев с числовых последовательностей.

  • Пусть у нас есть генератор целых чисел, способный выдавать их достаточно много (10 000 000 в нашем случае).
  • Выберем размер отпечатка, который сейчас будем “катать”, пусть Sz=1024
  • Выделяем и обнуляем память для целочисленной двумерной квадратной матрицы размером Sz: Hists[Sz][Sz]
  • Вычитываем из генератора числа и для каждого из них (Val) организуем цикл
    Т.е. мы строит гистограммы остатков от деления входных значений на все числа в пределах выбранного размера отпечатка Sz.
  • После прогона достаточного количества сгенерированных значений, у нас есть двумерная гистограмма остатков от деления на все числа в выбранном диапазоне. Отметим, что эта гистограмма не зависит от порядка, в котором генератором выдаются значения. С другой стороны, мы могли бы скармливать гистограмме не сами значения, а их отличия от предыдущего, например, тогда и порядок был бы частично учтен
  • Далее мы выводим полученную гистограмму в удобном для просмотра виде (здесь использован gnuplot в режиме ‘pm3d map’) и любуемся открывшейся картиной. Стоит отметить, что в выдачу попадает не значение из Hists[ix][[iy], а скорректированное с учетом вероятности попадания (Hists[ix][iy]*(ix+1)/Sz)

Итак, начнем. А начнем мы со стандартного С-шного генератора rand:

Ожидаемо, гистограмма получилась треугольная и плоская, но… а что это за странные полоски?
Рассмотрим подробнее.

Похоже, этот генератор выдает не очень случайные числа. Ну что же, я всегда подозревал, что использование rand() в качестве генератора случайных чисел — “это верный признак дурного человека”(С).

Пожалуй, стоит посмотреть на “правильный” генератор случайных чисел. В качестве такового мы будем использовать оный, любезно предоставленный как-то Юрием Ткачевым.

На первый взгляд выглядит неплохо. Присмотримся к этой гистограмме.

Да, это как раз то, что мы и ожидали получить от генератора случайных чисел. Попробуем немного пошевелить данные, будем учитывать только младшие 24 бита.

Ничего не изменилось, но ведь именно это мы и хотели увидеть. Еще эксперимент, на этот раз мы будем склеивать куски по 24 бита из двух последовательных чисел, выданных нашим замечательным генератором.

И опять никаких отличий! Просто великолепно!
Последняя попытка, на этот раз мы будем не склеивать 24-битовые куски, а перемножать их.

Бац! И такое ощущение, что из нашего генератора случайных чисел вылезло его псевдо-нутро.
То же, но в в другом масштабе:

Ой-ой “сказали мы с Петром Ивановичем”(С).
Чтобы перевести дух и выиграть время для осмысления произошедшего, посмотрим, как выглядят данные другого рода:

Вот это первые 10 млн 64-разрядных целых чисел, вычитанных из файла — образа базы данных.

А вот так выглядят полученные таким же образом данные, источником которых служил zip-файл.
Это было бы похоже на случайные данные, но вертикальные полоски всё портят.

Так вот, пока внимательный читатель забавлялся чтением данных из файлов, автор решил посмотреть как ведут себя очень даже неслучайные последовательности. Начнем с F(n) = F(n-1) + 1 т.е. 0, 1, 2, 3…

Гистограмму самой последовательности и смотреть не будем, она треугольная и совершенно плоская, что интуитивно понятно и легко объяснимо. В самом деле, поскольку в наш метод не заложен порядок, такая последовательность ведет себя как идеальный генератор случайных чисел, который равновероятно заметает весь диапазон.
А вот распределение произведения из двух чисел, каждое от 0 до 4000 выглядит так:

Очень знакомая картинка, не правда ли. Фактически, мы видим эталонный образец гистограммы произведения двух чисел.
В одном месте сошлись произведение и остатки от деления.
Довольно незатейливым образом мы вытащили из под полы магию чисел.

А вот так ведет себя последовательность F(n) = n * n т.е. 0, 1, 4, 9…

А здесь F(n) = 2 * n * ( 2 * n + 1) т.е. 0*1, 2*3, 4*5…
Ну и напоследок автор не смог удержаться от показа распределения первых 10 млн простых чисел.


И их “слепка” — первых 10 млн непростых чисел (просто красиво).

Что ж, будьте бдительны и “всегда, нет, никогда”(С) не перемножайте последовательности:).

PS. Отдельную благодарность автор выражает Александру Артюшину за деятельное обсуждение subj.

Числовые последовательности. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели уроков:

  • Формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом.
  • Формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность.
  • Развитие умений применять ранее изученный материал.
  • Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать.
  • Привитие санитарно-гигиенических навыков, пропаганда здорового образа жизни.
  • Организационный момент.
  • Повторение видов функций.
  • Подготовка к восприятию новых знаний.
  • Изучение нового материала.
  • Закрепление.
  • Знаменитые последовательности.
  • Дополнительные задачи.
  • Домашнее задание.
  • Подведение итогов урока.
  • Оборудование и материалы.

  • Рабочий лист для учащихся с планом уроков и упражнениями. Приложение 1.
  • Лист с домашней работой. Приложение 2.
  • Мультимедийный проектор.
  • Экран.
  • Презентация.
  • 1. Организационный момент.

    Последовательность — одно из самых основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д.

    Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием » числовая последовательность», узнаем, какие могут быть последовательности, познакомимся со знаменитыми последовательностями.

    2. Повторение видов функций.

    Вам известны функции, определённые на всей числовой прямой или на её непрерывных промежутках:

    • линейная функция у = кх+в,
    • квадратичная функция у = ах 2 +вх+с,
    • функция у = ,
    • прямая пропорциональность у = кх,
    • обратная пропорциональность у = ,
    • кубическая функция у = х 3 ,
    • функция у =|х|.

    (Графики функций показываются на слайдах презентации).

    Для каждой функции указать область определения и способы задания функции.

    3. Подготовка к восприятию новых знаний.

    Но бывают функции, заданные на других множествах.


    Пример. Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в день рождения ребёнка родители подводят его к дверному косяку и торжественно отмечают на нём рост именинника. Ребёнок растёт, и на косяке с годами возникает целая лесенка отметок. Три, пять, два: Такова последовательность приростов от года к году. Но есть и другая последовательность, и именно её члены аккуратно выписывают рядом с засечками. Это — последовательность значений роста. Слайд презентации.

    Две последовательности связаны друг с другом.

    Вторая получается из первой сложением.

    Рост — это сумма приростов за все предыдущие годы.

    Рассмотрим ещё несколько задач.

    Задача 1. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

    (Ответы учащихся записываются на доске: 500, 530, 560, 590, 620).

    Задача 2. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. — 180 см. Какого роста он будет в 2020 году? (2м 30 см). Но этого быть не может. Почему?

    Задача 3. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеют все ученики нашей школы (300 человек)? (Через 4 дня).

    Это примеры функций, заданных на множестве натуральных чисел-числовые последовательности.

    Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

    Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

    Изучение нового материала.

    Определение: Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел (слайд: последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать).

    Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

    1, 2, 3, 4, 5, : — последовательность натуральных чисел;

    2, 4, 6, 8, 10, :- последовательность четных чисел;

    1, 3, 5, 7, 9, : — последовательность нечетных чисел;

    1, 4, 9, 16, 25, : — последовательность квадратов натуральных чисел;

    2, 3, 5, 7, 11, : — последовательность простых чисел;

    1, , , , :- последовательность чисел, обратных натуральным.

    Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — монотонно убывающая.

    1, 2, 3, 4, 5, :п,:-порядковый номер члена последовательности.

    п)- последовательность, уп— п-ый член последовательности.

    п)- последовательность, ап — п-ый член последовательности.

    ап-1 -предыдущий член последовательности,

    ап+1 — последующий член последовательности.

    Последовательности бывают конечными и бесконечными, возрастающие и убывающие.

    Задание. Записать первые 5 членов последовательности:

    От первого натурального числа увеличение на 3.

    От 10 увеличение в 2 раза и уменьшение на 1.

    От числа 6 чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза.

    Эти числовые ряды тоже называются числовыми последовательностями.

    5. Знаменитые последовательности:

    Числа Фибоначчи. Приложение 3.

    Треугольник Паскаля. Приложение 3.

    Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

    1. Способы задания последовательностей:

    п)- последовательность натуральных чисел, кратных трём.

    п 1 2 3 4 5
    уп 3 6 9 12 15

    Указать формулу п-ого члена последовательности.


    Рекуррентный (от латинского — возвращаться).

    Это формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие.

    сп = . Запишите первые 5 членов последовательности.

    (По одному человеку решают у доски, остальные — в тетради).

    : 74, 81, 88, 95, 102, : Задайте формулу п-ого члена.

    Рабочая тетрадь: с. 46, № 38.

    3. Дополнительные задачи.

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной таким описанием: каждый член последовательности на 1 больше соответствующего члена ряда Фибоначчи.

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной формулой ап = (-3) п-1 .

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:

    Запишите первые пять членов последовательности, заданной графиком:

    Домашнее задание. Приложение 2.

    Подведение итогов урока.

    Итак, мы разобрали понятие последовательности и способы её задания. Ответьте на вопросы:

    1. Что такое последовательность?
    2. Какие виды последовательностей вы узнали?
    3. Какие способы задания вы узнали?
    4. О каких ученых и их трудах вы узнали?

    Литература.

  • О.В. Занина , И.Н. Данкова. Поурочные разработки по алгебре. 9 класс.
  • Л.А. Тапилина, Т.Л. Афанасьева. Алгебра. 9 класс. Поурочные планы.
  • Энциклопедический словарь юного математика.
  • Материалы Фестиваля педагогических идей «Открытый урок»:
  • А.А.Болбас. Урок алгебры по теме «Числовые последовательности». 9 класс.
  • А.В. Худякова. Урок по алгебре для 9 класса по теме «Последовательности и способы их задания».
  • Е.Е. Журавлёва. Урок-лекция в 9 классе на тему «Последовательности, понятие, определение. Возрастающие и убывающие последовательности. Способы задания последовательности».
  • Г.А. Бархатова. Интегрированный урок математики и валеологии на тему «Прогрессия». Решение прикладных задач.
  • К. Кноп. «Трактат о кроликах, рождающих великие открытия».
  • Г.И. Глейзер. История математики в средней школе.
  • Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. Математика без формул.
  • Стихии и геометрия цифр 3, 6 и 9

    Число 3 имеет начало середину и конец.
    Оно олицетворение любого цикла и колебательного движения,две полярности и середину. Единица для числа 3 то же, что диаметр для круга.
    Троичностями мы рассматриваем систему,в которой помимо полярности есть середина:
    начало,середина и конец; настоящее,прошлое и будущее;молодость,зрелость и старость;три ветви жизни: животные – растения – микроорганизмы; высота,ширина и длина;мы знаем три времени у глагола,три склонения существительного и три рода — женский,мужской и средний. Земля – третья по расстоянию от Солнца планета Солнечной системы. Помимо этого, мы существуем в трехмерном пространстве.
    Православие и Индуизм рассматривают концепцию триединства, помимо этого существует множество троичных систем, включая математические.
    К этим системам относится принцип Золотого сечения и даже число Пи.
    Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Одной из подобных последовательностей мы можем рассматривать связи чисел 3,6 и 9.
    ______________________________
    Прописание цифр 3,6 и 9 очень похожи. Кроме того, цифра 6 в перевернутом виде превращается в 9.
    3 (1+1+1/1+2)
    Сумма трех нечетных чисел.
    Сумма большего четного числа и меньшего нечетного. Триграммы Багуа указывают, что зарождающееся, меньшее число, управляет большим. В данном примере 1, меньшее число, является наиважнейшей кратностью числа 3. Его родовой принадлежностью.
    6 (3+3/ 3х2/4+2) состоит из двух нечетных числе, двух четных и произведения четного, на нечетное число.
    9 (3+3+3/3х3/1+8/2+7/3+6/4+5) Нечетное число в кубе. Суммы четных и нечетных чисел, внутри 9 — равноправны по силе (согласно Багуа)

    Интересные особенности цифр 3,6 и 9, их геометрия.

    3х1 = 3
    3х2 = 6
    3х3 = 9
    3х4 = 12=1+2=3
    3х5 = 15=1+5=6
    3х6 = 18=1+8=9
    3х7 = 21=2+1=3
    3х8 = 24=2+4=6
    3х9 = 27=2+7=9
    3х10 = 30=3

    6х1=6
    6х2=12=1+2=3
    6х3=18=1+8=9
    6х4=24=4+2=6
    6х5=30=3+0=3
    6х6=36=3+6=9
    6х7=42=4+2=6
    6х8=48=4+8=12=1+2=3
    6х9=54=9
    6х10=60=6
    При этом:

    9х1 = 9
    9х2 = 18=1+8=9
    9х3 = 27=2+7=9
    9х4 = 36=3+6=9
    9х5 = 45=4+5=9
    9х6 = 54=5+4=9
    9х7 = 63=6+3=9
    9х8 = 72=7+2=9
    9х9 = 81=8+1=9
    9х10 = 90=9
    Сумма 333=9
    Сумма 666=9
    Сумма 999=9

    Цифры 3; 6 и 9 умноженные на порядковую последовательность натуральных чисел*** — 123456789, в отличии от остальных натуральных цифр так же порождает определенную геометрию, с четким ритмом и симметрией.
    В то время, как остальные числа при взаимодействии постоянно варьируются и видоизменяются с гораздо большим «шагом» симметрии.
    3х123456789=370370367
    6х123456789=740740734
    9х123456789=1111111101
    3х4=123456789=1481481468
    Зх5Х123456789=1851851835
    3х6Х123456789=2222222202
    3х7Х123456789=2592592569
    3х8Х123456789=2962962936
    3х9х123456789=3333333303
    3х10х123456789=3703703670
    3х11х123456789=4074074037
    И так далее.
    Так как числа 9 и 6 кратны 3, то симметрия данных чисел замкнута и выстраивается в замкнутую систему.
    6х4х123456789=3х8х123456789=2962962936
    6х7х123456789=3х14х123456789= 5185185138
    На примере этой же последовательности, цифра 9 порождает следующий результат:
    цифра 9 умноженная на порядковую последовательность натуральных чисел — 123456789
    123456789х9=1111111101
    123456789х18=2222222202
    123456789х27=3333333303
    123456789х36=4444444404
    123456789х45=5555555505
    123456789х54=6666666606
    123456789х63=7777777707
    123456789х72=8888888808
    123456789х81=9999999909
    и так далее, при чем симметрия сохраняется и дальше:
    123456789х180=22222222020 -9х20
    123456789х270=33333333030 — 9х30
    123456789х360=44444444040 — 9х40
    123456789х450=55555555050 — 9х50
    и так до бесконечности организованно гармонично и симметрично.
    Если взаимодействия кратные 3 и 6 обладают некоторой свободой, то взаимодействия кратные 9 жестко структурированы.
    Здесь можно провести аналогию со Стихиями, где
    1 — Яньская Стихия, обладающая наибольшей свободой связей — ОГОНЬ
    3 — Яньская Стихия, подчиняющаяся большему числу связей, более связана законом, правилами гармонического взаимодействия, она соответствует ВОЗДУХУ
    6 — Иньское число, подчиняется большему числу связей, не обладающая свободой, соответствует Стихии ВОДА
    9 — Иньское, устойчивое, крайне геометричное, предельно симметричное число.
    Это крайний уровень возможной материализации, он соответствует Стихии ЗЕМЛЯ.
    ___________________

    Размышляя о симметрии, хочется отметить так же следующий момент
    Числа 1;2;4 и 8 имеют одинаковые палиндромы 77; 1111; 2222; 4444; 8888 и
    479 522 020 225 974
    Числа 3 и 6 так же имеют одинаковые палиндромы
    33; 66; 363; 4884; 8836886388
    Число 5, имеет палиндромы 333; 666; 3663; 99099; 127 854 458 721
    Число 7, палиндромы 55; 121; 242; 484; 79497; 99099; 127 854 458 721
    Числа 5; 7 и 9 имеют одинаковые палиндромы, начиная с 4 палиндрома числа 5; 6 палиндрома числа 7 и 2 палиндрома числа 9.
    Из чего следует следующее, числа 1;2; 4 и 8 относятся к одной группе симметрии.
    Числа 3 и 6 к другой.
    А число 9 связано гармониками с цифрами 3;6;5;7, а так же с цифрой 1, а через нее и с цифрами 2;4 и 8.
    То есть, число 9 представляет высшую геометрическую структуру организации натуральных чисел.
    С точки зрения Теории Элементов это утверждение соотносит число 9 к элементу ЗЕМЛЯ.
    http://www.proza.ru/2020/03/27/892
    http://www.proza.ru/2020/03/27/1416
    В двоичной системе счисления число 3 записывается как 11.
    Числа делящиеся на целое число 3 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
    Число 6 в двоичной системе счисления 110
    Числа делящиеся на целое число 6 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54
    Число 9 в двоичной системе счисления 1001
    Числа делящиеся на целое число 9 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81

    ***Натуральный ряд относится к математическим парадоксам.
    К примеру:
    1+2+3+4+5+6+7+8+9=1/12, то есть, сумма натурального ряда, является треугольным числом, так как оно может быть представлено в виде треугольника.
    Значение 1/12 встречается в теории бозонных струн.
    https://ru.wikipedia.org/wiki/

    999=3х3х3х37
    Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Получается шестизначное произведение; первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры — «дополнения» первых до 9. Например:
    468х999= 467 532
    999-467 (число на единицу меньше 468)=532

    9.3.1. Числовая последовательность

    Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;. ) называется числовой последовательностью.


    Числа a1; a2; a3; a4;…, образующие последовательность, называются членами числовой последовательности. Так a1=f (1); a2=f (2); a3=f (3); a4=f (4);…

    Итак, члены последовательности обозначаются буквами с указанием индексов — порядковых номеров их членов: a1; a2; a3; a4;…, следовательно, a1 — первый член последовательности;

    a2 — второй член последовательности;

    a3 — третий член последовательности;

    a4 — четвертый член последовательности и т.д.

    Кратко числовую последовательность записывают так: an=f (n) или n>.

    Существуют следующие способы задания числовой последовательности:

    1) Словесный способ. Представляет собой закономерность или правило расположения членов последовательности, описанный словами.

    Пример 1 . Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

    Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

    0; 5; 10; 15; 20; 25; .

    Пример 2. Дана последовательность: 1; 4; 9; 16; 25; 36; . . Задайте ее словесным способом.

    Решение. Замечаем, что 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; … Делаем вывод: дана последовательность, состоящая из квадратов чисел натурального ряда.

    2) Аналитический способ. Последовательность задается формулой n-го члена: an=f (n). По этой формуле можно найти любой член последовательности.

    Пример 3. Известно выражение k-го члена числовой последовательности: ak = 3+2·(k+1). Вычислите первые четыре члена этой последовательности.

    Пример 4. Определите правило составления числовой последовательности по нескольким ее первым членам и выразите более простой формулой общий член последовательности: 1; 3; 5; 7; 9; . .

    Решение. Замечаем, что дана последовательность нечетных чисел. Любое нечетное число можно записать в виде: 2k-1, где k — натуральное число, т.е. k=1; 2; 3; 4; . . Ответ: ak=2k-1.

    3) Рекуррентный способ. Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

    Пример 5. Выписать первые четыре члена последовательности n>,

    Пример 6. Выписать первые пять членов последовательности n>,

    4) Графический способ. Числовая последовательность задается графиком, который представляет собой изолированные точки. Абсциссы этих точек — натуральные числа: n=1; 2; 3; 4; . . Ординаты — значения членов последовательности: a1; a2; a3; a4;… .

    Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом.

    Каждая точки в этой координатной плоскости имеет координаты (n; an). Выпишем координаты отмеченных точек по возрастанию абсциссы n .

    Получаем: ( 1 ; -3), ( 2 ; 1), ( 3 ; 4), ( 4 ; 6), ( 5 ; 7).

    Ответ: -3; 1; 4; 6; 7.

    Рассмотренная числовая последовательность в качестве функции (в примере 7) задана на множестве первых пяти натуральных чисел (n=1; 2; 3; 4; 5), поэтому, является конечной числовой последовательностью (состоит из пяти членов).

    Если числовая последовательность в качестве функции будет задана на всем множестве натуральных чисел, то такая последовательность будет бесконечной числовой последовательностью.

    Числовую последовательность называют возрастающей, если ее члены возрастают (an+1>an) и убывающей, если ее члены убывают (an+1n).

    Возрастающая или убывающая числовые последовательности называются монотонными.

    Последовательности

    Урок 21. Алгебра 9 класс

    Конспект урока «Последовательности»

    Установить некоторую закономерность и дописать ещё одно число в каждый ряд.

    В первом случае в порядке убывания записаны нечётные числа:

    Во втором случае каждое следующее число отличается от предыдущего на 5:

    В третьем случае:

    Только что мы с вами привели примеры последовательностей, ещё их можно называть числовыми последовательностями.

    Последовательности будем называть буквами, например , где n — количество членов последовательности.

    Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

    Члены последовательности называют такой же буквой с указанием его порядкового номера n, где n является натуральным числом.

    Например, — множество положительных чётных чисел записанных в порядке возрастания. Члены последовательности — .


    Такие последовательности называют бесконечными. Так как в названии последовательности не указано точное количество членов.

    Так же последовательность может быть конечной.

    Например, последовательность ( ): 2, 4, 6, 8, 10, имеет 5 членов последовательности, и её последний член равен 10.

    Для каждого члена последовательности , записать предшествующий ему и следующий за ним.

    Найти первых пять членов последовательности, заданной формулой:

    Найти пять первых членов последовательности, заданной формулой:

    Нашли первых пять членов последовательности с помощью формулы. В данном случае, для нахождения каждого члена нам достаточно было знать только его номер.

    1. Найти пять первых членов последовательности. Она задана первым членом

    и формулой, выражающей каждый член последовательности через предыдущий:

    Для нахождения последующих членов последовательности нужно:

    Получили первых пять членов последовательности по первому члену и рекуррентной формуле.

    2. Найти пять первых членов последовательности. Она задана первым членом

    и формулой, выражающей каждый член последовательности через предыдущий:

    Для нахождения последующих членов последовательности нам нужно:

    Получили первых пять членов последовательности по первому члену и рекуррентной формуле.

    Презентация на тему: Числовые последовательности 9 класс

    Урок по алгебре в 9 классе «Числовые последовательности»Подготовила: учитель МОУ «Мелеховская СОШ №1» Свищева В.П.

    Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь;путем подражания – это самый легкий путь;путем размышления – это самый благородный путь.Китайская пословица.

    Повторение Готовимся к ГИА

    1. Расположите в порядке убывания числа: 0,1327; 0,014; 0,13А) 0,1327; 0,014; 0,13Б) 0,014; 0,13; 0,1327В) 0,1327; 0,13; 0,014Г) 0,13; 0,014; 0,13272. При каком из указанных значений х выражение не имеет смысла?А) при х = -2Б) при х = -1В) при х = 1Г) при х = 03. На рис. изображен график функции у = 2х2 + 5х – 3. Вычислите абсциссу точки А. Решение: т.к. точка А лежит на оси ОХ, то у = 0.Получаем: 2х2 + 5х – 3 = 0. Решаем уравнение: D = b2 – 4ac = 25 – 24 = 1 Х1,2 =

    Посмотрите внимательно и скажите: «ЧТО общего и чем отличаютсяфункциина рисунках 1,2,3,4»

    1,3,5,7,9,…2,4,6,8,10,…5,10,15,20,25,…Число + последовательность_____________________числовая последовательность

    Тема урока: «Числовые последовательности»

    Цели урока: Дать определение числовой последовательности;Ввести обозначения для числовой последовательности и ее членов;Рассмотреть способы задания числовой последовательности;Учиться применять полученные знания на практике.

    Математические модели ситуаций реальной жизни: Тело падает с башни высотой 26 м.В первую секунду оно проходит 2м, а за каждую следующую секунду – на 3м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд тело будет падать ?

    В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении 1 мин одна из них делится на два. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 1 час, 2 часа.

    Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй грузовик, который в первый час прошел 20 км, а за каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км?

    Некто открыл счет в Сбербанке России, положив 10 000руб. Какая сумма окажется на счету у клиента банка через месяц, 2 месяца, 6 месяцев, 12 месяцев, если банк ежемесячно начисляет 1%?

    Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

    Определение. Функцию y = f(x), x€N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y1, y2, y3,…,yn,…y1 – первый член последовательности, y2 — второй член последовательности,y3 — третий член последовательности,yn — n-ый член последовательности,n — индекс, который задает порядковый номер

    Обозначение членов последовательности

    2, 4, 6, 8, 10, . . .5,10,15,20,25, …Назовите 1,2,3,4,5-ый члены последовательности

    Последовательностью называется бесконечное множество пронумерованных элементов.

    Последовательности составляюттакие элементы природы, которые можно пронумеровать

    Способы задания последовательностей Аналитический – с помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номеромхn=3×n+2×5=3 ×5+2=17;Х45=3×45+2=137Рекуррентный (от слова recursio — возвращаться) х1=1; хn+1=(n+1); xnn=1; 2; 3; …можно записать с многоточием 1; 2; 6; 24; 120; 720; …

    ЗАДАЧА:Последовательность задана формулой an = 6n – 1. Найдите первые пять членов этой последовательности.

    Проверочная работа. Последовательность задана формулой 1 в. an = 7n – 1 2 в. an = 3n + 2Найдите первые пять членов этой последовательности.ОТВЕТ:1 В. 6, 13, 20, 27, 34. 2 В. 5, 8, 11, 14, 17.

    Домашнее задание: 15.9;15.12 (в, г);15.14 (в, г);Стр 136 – 142 (Учебник).

    Рефлексия 1) Что называют числовой последовательностью? 2) Как ее можно задать?3) Какой способ помогает быстрее отыскать любой член последовательности?Сегодня на уроке Я запомнил…Я узнал…Я научился…В дальнейшем мне хотелось бы…

    Краткое описание формата GIF

    GIF — один из самых распространенных и популярных в интернете форматов изображений. Думаю, что не ошибусь, если предположу, что общее число всех файлов GIF в мире исчисляется миллиардами. Столь широкое распространение GIF во многом определяется особенностями его формата. Я попытался более наглядно представить внутреннее строение файлов GIF, чем это сделано в сухом официальном описании формата. Все картинки на этой странице — в формате GIF, так что, можно сказать, что формат GIF иллюстрирует сам себя.


    История GIF

    В 1977 году два израильских специалиста по теории информации, Яков Зив и Авраам Лемпель, написали универсальный алгоритм сжатия данных, который получил название LZ (Lempel-Ziv). Позже, в 1984 году, Терри Уэлч, сотрудник фирмы Unisуs (Юнaйсис), изменил этот алгоритм, немного улучшив степень сжатия. Этот метод стал называться LZW (Lempel-Ziv-Welch).

    Через семь лет, в 1987 году, фирма CompuServe (Компьюсерв) использовала алгоритм LZW при создании нового формата изображений, предназначенного специально для обмена графикой между компьютерами — GIF (Graphic Interchange Format). С развитием интернета, когда потребность в компактных, быстро передающихся по сети изображениях многократно возросла, формат GIF стал необычайно популярен, и соперничать с ним сейчас может лишь один формат — JPEG (Joint Photographic Expert Group), ориентированный на изображения фотографического качества, в то время как GIF обладает такими недоступными для JPEG свойствами, как прозрачный фон и анимация. В 1989 году CompuServe выпустила расширенную версию формата — GIF89a. В нее и были добавлены эти новые возможности.

    В 1995 году фирма Unisуs, владеющая патентом на метод LZW, неожиданно решила, что на нем можно заработать, и запретила распространение программ, использующих сжатие LZW, без лицензии. Теперь, чтобы продавать или даже бесплатно распространять программы, создающие или показывающие изображения GIF, нужно было платить за лицензию по меньшей мере 5000 долларов. Дело доходило до того, что деньги требовали даже с владельцев сайтов, где изображения GIF создавались динамически. Программисты стали искать обходные пути. Появились альтернативные форматы, среди которых самым известным стал PNG («Пинг», Portable Network Graphic). По некоторым параметрам он превосходит GIF, а с появлением анимированной версии (MNG) он стал буквально наступать формату GIF на пятки. И не удивительно, ведь в нем тоже применен один из вариантов метода сжатия Лемпеля-Зива — LZ77.

    К счастью, 20 июня 2003 года срок действия основного патента Unisуs на метод LZW в США истек, а патенты в Европе и Канаде были действительны лишь до 7 июля 2004 года, что, возможно, даст формату GIF шанс не потерять завоеванные им за прошлые годы позиции.

    Некоторые общие данные

    • Размер картинки — от 1х1 до 65535х65535 пикселов.
    • Число цветов палитры — от 2 до 256.
    • Каждый цвет палитры имеет глубину 24 бита/пиксел (выбор из 16 миллионов цветов).
    • Карта прозрачности — 1-битная (полупрозрачных цветов нет).
    • Число повторов анимации — от 1 до 65535, а также бесконечное.
    • Время показа одного кадра анимации — от 1/100 секунды до 655 секунд.
    • Число кадров анимации — неограниченно.
    • Число невидимых текстовых комментариев и размер каждого комментария — неограниченны.

    Структура

    Файлы формата GIF имеют блочную структуру. Это значит, что они состоят из отдельных блоков, которые в большинстве случаев никак не связаны друг с другом. Программы, не распознающие некоторые типы блоков, могут просто пропускать их — для этого у каждого нестандартного блока в заголовке указан его размер. Идущие один за другим блоки графики (картинки) составляют анимацию. Они сменяются на экране и создают иллюзию движения. До или после них (или даже между ними) в файле могут находиться другие блоки:

    1. Комментарии. Скрытый текст, его можно увидеть лишь с помощью специальных программ — например, GIF-аниматоров, таких, как Ulead GIF Animator.
    2. Простой текст. Строки символов с ограниченными возможностями форматирования. В настоящее время не используется.
    3. Блоки управления графикой, задающие параметры вывода отдельных картинок.
    4. Глобальная и локальные цветовые палитры, определяющие, какие именно цвета будут у картинок.
    5. Особые блоки, которые могут использоваться лишь теми программами, которые знают об их существовании и назначении — например, блок Netscape, задающий число циклов анимации. Без него анимация после загрузки страницы срабатывает всего один раз. А в блоке Pianygif хранятся названия отдельных картинок для облегчения их редактирования.

    Минимально необходимый набор блоков — простейший неанимированный GIF:

    Поводите мышкой над блоками для вывода их названий (работает не на всех браузерах)

    Зеленый Текстовые константы
    Желтый Переменные
    Голубой Байты с упакованными в них полями и флагами
    Розовый Шестнадцатиричные константы
    Серый Блоки данных переменной длины
    Белый Зарезервированные байты или биты

    Дескриптор логического экрана

    В начале каждого файла GIF находится заголовок. Поскольку сразу за ним идет дескриптор логического экрана, я считаю заголовок его частью. Он состоит из текста «GIF87a» или «GIF89a», в зависимости от версии.

    Дескриптор — это просто «описатель» или «описание». Логический экран — область реального экрана компьютера, куда выводятся все картинки данного файла GIF. Они могут иметь разный размер и занимать разное положение на логическом экране

    W, H — ширина и высота логического экрана в пикселах, то есть размер области вывода картинок. Изображения, не умещающиеся на логическом экране, должны обрезаться по его размеру.

    BG — номер цвета фона. Если в файле присутствует глобальная палитра, то этим цветом заливаются области фона, где нет картинок. Но если при этом в самом первом, еще до всех картинок, расширении управления графикой включена прозрачность, то этот цвет считается прозрачным.

    R — соотношение сторон исходного изображения. В версии GIF87a это поле зарезервировано, и здесь стоят нули. Насколько мне известно, этот параметр никогда и никем не используется. Предполагалось, что пиксел экрана может быть и не квадратным, как было в старых компьютерах и как сейчас бывает при некоторых режимах DOS, и что для вывода таких изображений необходимо изменять разрешение экрана либо растягивать изображение так, чтобы оно выглядело более реалистичным.

    CT — наличие глобальной палитры. Если этот флаг установлен, то сразу после дескриптора глобального экрана должна начинаться глобальная палитра. Размер палитры определяется полем Size.

    Color — цветовое разрешение исходной картинки. Число битов, приходящееся на каждый из трех основных цветов. Если файл GIF создан напрямую из полноцветного изображения, то Color будет равен 7, а если из уже индексированного, то его значение будет зависеть от глубины цвета этой индексированной картинки, причем весьма приблизительно. Например, если файл создан на основе 16-цветной картинки, то Color должен быть равен 1, и исходная палитра предполагается 64-цветной.

    Глубина цвета исходного изображения Color
    Число цветов Бит/пиксел Бит/цвет
    16777216 24 8 7
    2097152 21 7 6
    262144 18 6 5
    32768 15 5 4
    4096 12 4 3
    512 9 3 2
    64 6 2 1
    8 3 1

    SF — флаг сортировки палитры. В версии GIF87a этот бит зарезервирован, и здесь стоит ноль. Указывает, сортирована ли палитра по значимости цветов, когда первыми идут наиболее значимые цвета. Значимость цвета определяется тем, какую площадь изображения он занимает по отношению к другим цветам.

    Size — размер палитры и число цветов картинки. Если флаг глобальной палитры CT сброшен, то здесь должны стоять нули.

    Size Число цветов Размер палитры, байт
    7 256 768
    6 128 384
    5 64 192
    4 32 96
    3 16 48
    2 8 24
    1 4 12
    2 6

    Глобальная палитра

    Изображения, хранящиеся в файле GIF, индексированы. Картинки состоят не из полноцветных пикселов, а из номеров цветов, а сами цвета находятся в палитре. Палитра составлена из триад, в свою очередь состоящих из байтов красного ( R), зеленого ( G) и синего ( B) основных цветов. Из всего многообразия цветов (современные компьютеры и мониторы могут показывать на экране до 16 миллионов цветов) используется всего лишь от 2 до 256. Сведение числа цветов к минимуму без значительного ухудшения качества изображения и без потери информации — сродни искусству, и автоматизации поддается плохо. Многие графические редакторы — такие как Adobe Photoshop, например — позволяют интерактивно выбрать наилучший вариант индексации картинки «на глаз».

    Если она есть, глобальная палитра идет сразу за дескриптором логического экрана. Наличие палитры определяется флагом CT дескриптора, а размер — полем Size. Глобальная палитра действует на все картинки, у которых нет своей локальной палитры. В том аварийном случае, если в файле нет ни глобальной, ни локальных палитр, программа просмотра может поступать по своему усмотрению — например, использовать системную палитру. Однако рекомендуется, чтобы первые два цвета в ней были черным и белым, чтобы в любом случае на экран вывелось хоть что-то.

    Дескриптор изображения

    Действует на следующий за ним графический блок (картинку). Без него картинка выводится не будет, так что его можно считать неотъемлемой частью графического блока. Между дескриптором и блоком графики может находиться только локальная палитра.

    W, H — ширина и высота картинки в пикселах.


    Left, Top — положение картинки на логическом экране.

    CT — наличие локальной палитры. Если этот флаг установлен, то сразу после дескриптора изображения должна начинаться локальная палитра. Размер палитры определяется полем Size.

    I — чересстрочная или обычная развертка картинки при выводе на экран. При скачивании картинки из интернета чересстрочная развертка позволяет быстрее получить первое впечатление об изображении, хотя оно будет еще недостатчно четким. Однако файлы с чересстрочной разверткой немного больше по размеру, а при просмотре в отключенном режиме такие картинки могут выводиться медленней.

    SF — флаг сортировки палитры. В версии GIF87a этот бит зарезервирован, и здесь стоит ноль. Указывает, сортирована ли палитра по значимости цветов, когда первыми идут наиболее значимые цвета. Значимость цвета определяется тем, какую площадь изображения он занимает по отношению к другим цветам.

    Size — размер локальной палитры и число цветов картинки (см. выше). Если флаг локальной палитры CT сброшен, то здесь должны стоять нули.

    Локальная палитра

    Если она есть, должна идти сразу за дескриптором изображения Наличие палитры определяется флагом CT дескриптора, а размер — полем Size. Действует она только на следующий сразу за ней графический блок (картинку).

    Для уменьшения размера файла лучше ограничиться одной глобальной палитрой, не прибегая к локальным — особенно, если речь идет о многоцветных картинках. Максимальный размер палитры при 256 цветах — 768 байт, а если умножить на число картинок в анимации, то сумма набегает солидная.

    Графический блок

    Картинка, сжатая по методу LZW. Она разбита на отдельные субблоки по 255 байт. Число картинок в файле, как и размер каждой картинки, ничем не ограниченны. Анимированным GIF становится в том случае, если в нем больше одной картинки. Тогда при просмотре файла в браузере автоматически включается анимация. Про метод сжатия LZW достаточно подробно рассказано на моей страничке Сжатие по методу LZW.

    MC — Начальный размер LZW-кода. Равен глубине цвета картинки, за исключением двухцветных, когда MC равен не 1, а 2.

    Число цветов Глубина цвета, бит/пиксел MC Размер LZW-кода
    256 8 8 9
    128 7 7 8
    64 6 6 7
    32 5 5 6
    16 4 4 5
    8 3 3 4
    4 2 2 3
    2 1 2 3

    S — размер субблока данных, не включая сам байт S. У всех субблоков, кроме последнего, размер должен быть равен 255 байтам. У последнего субблока (или если он вообще один) размер может быть любым — от 1 до 255 байт.

    Расширение управления графикой

    Введено в версии GIF89a. Действует на первый же следующий за ним графический блок (картинку). Между ним и блоком графики могут быть вставлены другие блоки (например, комментарий) — это его работе не мешает.

    Delay — время задержки, в 1/100 сек. Время, в течение которого данная картинка остается на экране. Минимальное значение — 1/100 секунды, максимальное — примерно 655 секунд. Таймер начинает отсчет лишь после того, как картинка выведена на экран, поэтому у разных программ просмотра время задержки может существенно различаться. Например, если попытаться сделать анимированный GIF — часы, то они могут, в зависимости от браузера, за минуту спешить или отставать более чем на секунду.

    Tr — номер прозрачного цвета. Если есть локальная палитра, это номер цвета в ней, если же локальной палитры нет, то это номер цвета в глобальной палитре.

    Disp — способ замены картинки после показа:

    Disp Способ замены Примечание
    На усмотрение браузера Обычно результат такой же, как при 1
    1 Оставить как есть Наложение следующей картинки поверх данной
    2 Восстановить цвет фона Стирание картинки перед выводом следующей
    3 Восстановить предыдущую картинку Поддерживается не всеми программами просмотра,
    использовать не рекомендуется
    4. 7 Зарезервированы

    UI — ожидается реакция пользователя. Еще один никогда и никем не используемый параметр. Предполагалось, что если этот флаг установлен, то после вывода данной картинки для продолжения анимации и вывода следующих необходимо, например, щелкнуть кнопкой мышки.

    TF — флаг прозрачности. Если он установлен, данная картинка выводится с прозрачным фоном, цвет которого определяется параметром Tr.

    Расширение простого текста

    Введено в версии GIF89a. Предполагалось, что вместе с картинками будут передаваться текстовые сообщения, появляющиеся на экране в паузах между ними или поверх них. Так как символы более 0xF7 не выводятся (заменяются на пробелы), это делает расширение непригодным для вывода символов кириллицы (русских букв). В настоящее время все тексты в файлах GIF идут в виде картинок, так что это расширение, насколько мне известно, никогда и никем не используется.

    Left, Top — положение области текста на логическом экране.

    W, H — размер области текста. Строки, выходящие за ее рамки, обрезаются. Переводы строки должны быть заранее вставлены в текст.

    cW, cH — размер символов. Рекомендуется использовать значения 8х8 или 8х16 пикселов, что в настоящее время годится лишь для DOS.

    FG — номер цвета текста.

    BG — номер цвета фона. Этим цветом заливаются области фона, где нет текста.

    S — размер субблока данных, не включая сам байт S. У всех субблоков, кроме последнего, размер должен быть равен 255 байтам. У последнего субблока (или если он вообще один) размер может быть любым — от 1 до 255 байт.

    Расширение комментария

    Введено в версии GIF89a. В основном сюда записывают данные об авторских правах создателей файла GIF — и людей, и программ. Самый длинный текст можно ожидать в том случае, если программа бесплатная или условно-бесплатная. Длина текста ничем не ограниченна. В принципе сюда можно записать даже такую мегабайтовую книгу, как «Моби Дик».

    S — размер субблока данных, не включая сам байт S. У всех субблоков, кроме последнего, размер должен быть равен 255 байтам. У последнего субблока (или если он вообще один) размер может быть любым — от 1 до 255 байт.

    Расширение приложения

    Введено в версии GIF89a. Расширения приложения — это специальные блоки данных — не картинки и не текст. С ними могут работать только те программы (приложения), для которых они предназначены. Наибольшую известность приобрело расширение приложения Netscape, описываемое ниже.

    ID — идентификатор приложения. Текст из 8 символов, по которому программа просмотра определяет, сможет ли она прочесть данные, и какого они типа.

    Code — код проверки идентификатора. Предполагалось, что программа, создавшая GIF, будет синтезировать двоичный код для подтверждения своих прав на данное расширение. На деле здесь тоже находится текст из 3 символов.

    S — размер субблока данных, не включая сам байт S. У всех субблоков, кроме последнего, размер должен быть равен 255 байтам. У последнего субблока (или если он вообще один) размер может быть любым — от 1 до 255 байт.

    Расширение приложения Netscape

    Должно идти сразу за глобальной палитрой (если она есть) или за дескриптом логического экрана (если ее нет). Единственная цель данного расширения — установить число циклов анимации. Как можно догадаться, первым приложением, которое могло использовать эту информацию, был браузер Netscape 2.0. Сейчас это расширение присутствует почти во всех файлах GIF, где есть анимация.

    ? — здесь стоит 0x01, но что это означает, мне неизвестно. Возможно, первоначально этот байт предполагалось использовать, но затем он оказался ненужным.

    Loop — Число циклов анимации, от 0 до 65535. Здесь есть некоторые странности. Во-первых, без расширения Netscape цикл анимации срабатывает, но только один раз. Если же вставить расширение Netscape в файл и установить Loop = 1, то цикл будет прокручиваться дважды, как и при Loop = 2. А при Loop = 0 анимация крутится бесконечно, так что ее отключение, для того, чтобы выводилась только одна первая картинка, в любом случае оказывается невозможным.

    Расширение приложения Pianygif

    Совершенно случайно я обнаружил еще одно расширение приложения. Судя по его названию, должна быть программа с названием «Pianygif», но я таковой не обнаружил — возможно, она уже давно канула в Лету. Однако польза от этого расширения есть. В нем хранятся названия отдельных графических блоков (или «слоев») картинки, что помогает различать их при редактировании анимации. Так, например, это расширение использует редактор GIF-анимации Ulead GIF Animator, входящий в набор Ulead Web Razor.

    Названия хранятся разбитыми на субблоки данных, которые, после объединения и удаления байтов размера представляют из себя одну строку неограниченной длины, где названия отделены друг от друга разделителем 0x01. Последовательность названий соответствует последовательности картинок в файле. Заканчивается строка терминатором 0x0101 или 0x010F. От чего зависит выбор терминатора, определить пока не удалось.

    S — размер субблока данных, не включая сам байт S. У всех субблоков, кроме последнего, размер должен быть равен 255 байтам. У последнего субблока (или если он вообще один) размер может быть любым — от 1 до 255 байт.

    Заключение

    Может показаться, что формат GIF со своими 256 цветами уже окончательно устарел, однако в сравнении с другими техниками вывода изображений он даже может в чем-то и выигрывать.

    Например, применение для создания анимированных кнопок и баннеров вместо картинок GIF техники Flash предполагает, что на каждом браузере установлен плагин Flash или элемент ActiveX Flash нужной версии. Это может в отдельных случаях привести к тому, что пользователи не только не смогут увидеть рекламу, но и вообще не смогут попасть на данный сайт, в то время как поддержка GIF изначально встроена во все браузеры, начиная с самых первых версий.

    Завоевывающий все большую популярность формат PNG, при всех своих неоспоримых достоинствах (полноцветная картинка, прозрачность с альфа-каналом), не может обеспечивать столь сильного сжатия малоцветных изображений, не говоря уже об анимации. Его анимированная модификация MNG, насколько мне известно, пока не поддерживается ни одним браузером.

    Другие новые форматы — такие, как JPEG 2000 — ориентированы в основном на фотографические изображения и не составляют серьезной конкуренции формату GIF, тем более что пройдет еще немало времени, пока браузеры во всем мире обзаведутся поддержкой этих новых форматов. В настоящее же время GIF, наряду с JPEG, остается одним из двух основных форматов изображений, используемых в интернете, и, скорее всего, будет служитть нам еще долго.

    Мастер Йода рекомендует:  Как написать свою змейку на Java за 15 минут
    Добавить комментарий